Bdt

[tienqm123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, a,b,c > 0 thỏa mãn [TEX]\frac{1}{a}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{b}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{c}[/TEX] = 1
CMR: [TEX]\sqrt{a - 1}[/TEX] + [TEX]\sqrt{b - 1}[/TEX] + [TEX]\sqrt{c - 1}[/TEX] >= 3[TEX]\sqrt{2}[/TEX]

 

[huynhbachkhoa23]

Đặt $(a,b,c)=\left(\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z}\right)$
Khi đó ta có:
$$\sqrt{\dfrac{1}{x}-1} \ge \dfrac{3\sqrt{2}}{4}(3x-1)+\sqrt{2}$$
Bất đẳng thức này chứng minh bằng cách bình phương 2 vế.
Tương tự ta cũng có:
$$\sqrt{\dfrac{1}{y}-1} \ge \dfrac{3\sqrt{2}}{4}(3y-1)+\sqrt{2}$$
$$\sqrt{\dfrac{1}{z}-1} \ge \dfrac{3\sqrt{2}}{4}(3z-1)+\sqrt{2}$$
$$\to\sum \sqrt{\dfrac{1}{x}-1} \ge \sum \dfrac{3\sqrt{2}}{4}(3x-1)+3\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

 

[eye_smile]

Cách khác:

Ta có:

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1} \ge 3\sqrt[6]{(a-1)(b-1)(c-1)}$

Lại có: $a-1= \dfrac{1}{\dfrac{1}{a}}-1=\dfrac{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}{\dfrac{1}{a}} \ge \dfrac{2a}{\sqrt{bc}}$

Tương tự, có:

$b-1\ge \dfrac{2b}{\sqrt{ac}}$

$c-1 \ge\dfrac{2c}{\sqrt{ab}}$

\Rightarrow $(a-1)(b-1)(c-1)\ge 8$

\Rightarrow $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\ge3\sqrt[6]{(a-1)(b-1)(c-1)}\ge3\sqrt[6]{8}=3\sqrt{2}$

 

[iloveyou123]

Đặt $(a,b,c)=\left(\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z}\right)$
Khi đó ta có:
$$\sqrt{\dfrac{1}{x}-1} \ge \dfrac{3\sqrt{2}}{4}(3x-1)+\sqrt{2}$$
Bất đẳng thức này chứng minh bằng cách bình phương 2 vế.
Tương tự ta cũng có:
$$\sqrt{\dfrac{1}{y}-1} \ge \dfrac{3\sqrt{2}}{4}(3y-1)+\sqrt{2}$$
$$\sqrt{\dfrac{1}{z}-1} \ge \dfrac{3\sqrt{2}}{4}(3z-1)+\sqrt{2}$$
$$\to\sum \sqrt{\dfrac{1}{x}-1} \ge \sum \dfrac{3\sqrt{2}}{4}(3x-1)+3\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

Sao bạn có thể biết mà đánh giá được như thế vậy , chỉ giúp mình nha. @-) @-)