Bđt trong đề thi thử ĐH

[ngoc1thu2]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c > 0 thoả mãn $ a^2+b^2+c^2= 3$

CMR:

1/(a+b) + 1/(a+c) + 1/(b+c) \geq 4/(a^2+7) +4/(b^2+7) + 4/(c^2+7)

 

[doxuantung97]

Cho a,b,c > 0 thoả mãn $ a^2+b^2+c^2= 3$

CMR:

1/(a+b) + 1/(a+c) + 1/(b+c) \geq 4/(a^2+7) +4/(b^2+7) + 4/(c^2+7)

Giải:​

Ta có: [TEX]3=a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca[/TEX]
Vậy nên ta có:
[TEX]\frac{4}{a^2+7} +\frac{4}{b^2+7} + \frac{4}{c^2+7} \leq \frac{4}{a^2 +\sum ab +4} + \frac{4}{b^2+\sum ab +4} + \frac{4}{c^2+\sum ab +4}[/TEX]
[TEX]=\frac{4}{(a+b)(a+c)+4} + \frac{4}(b+c)(b+a) +4} + \frac{4}{(c+a)(c+b) +4}[/TEX]
[TEX]\leq \frac{1}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} + \frac{1}{\sqrt{(b+c)(b+a)}} + \frac{1}{\sqrt{(c+a)(c+b) }}[/TEX]
Theo BĐT [TEX]AM-GM[/TEX]. Đặt [TEX]x=\frac{1}{a+b};y=\frac{1}{b+c};z=\frac{1}{c+a}[/TEX] thì ta cần chứng minh:
[TEX]a+b+c \geq \sqrt{ab}+ \sqrt{bc}+ \sqrt{ca}[/TEX]
Nhưng BĐT này hiển nhiên đúng! Vậy ta có đpcm. Dấu bằng khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]