Toán BĐT tổng hợp

[Hạnh Hạnh Alison]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho x,y,z thuộc R và x^2+y^2+z^2=1. CMR
[tex]\frac{-1}{2}\leq xy+yz+zx[/tex]
Bài 2: Cho 0<x<=y<=z. CMR
[tex]y(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (\frac{1}{x}+\frac{1}{z})(x+z)[/tex]
Bài 3: Cho a,b,c>=0 , đôi 1 phân biệt. CMR
[tex](ab+bc+ca)(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})\geq 4[/tex]
Bài 4: Cho a,b,c thuộc khoảng [0;1].CMR
[tex]\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3abc[/tex]
Bài 5: Cho a,b thuộc khoảng [0;1].CMR
[tex]\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\leq \frac{2}{1+ab}[/tex]
Bài 6: Cho a<=b<=c.CMR
[tex](a-b+c)(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 1[/tex]

 

[hoangthuong22022001]

1.[tex]xy+yz+zx=\frac{1}{2}.(x+y+z)^{2}-\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=\frac{1}{2}(x+y+z)^{2}-\frac{1}{2}\geq -\frac{1}{2}[/tex]

 

[hoangthuong22022001]

 

[Nguyễn Văn Hoàng Anh]

Bài 5 chuyển vế 2/1+xy rồi biến đổi tương đương

 

[Hạnh Hạnh Alison]

Bài 5 chuyển vế 2/1+xy rồi biến đổi tương đương

Sao được bạn

 

[nhungnt.gdas@nghean.edu.vn]

1) xét hiệu ta có : -1/2<=xy+yz+xz
<=>xy+yz+xz+1/2 >=0
<=> 2xy+2xz+2yz +1>=0
<=>x^1+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz>=0
<=>(x+y+z)^2>=0 => luôn đúng
Vậy biểu thức được chúng minh khi x+y+z=0 (bạn tự suy ra)

 

[Quân Nguyễn 209]

Sao được bạn

[TEX]\frac{1}{1 + a^2 } + \frac{1}{1+b^2} \leq \frac{2}{1+ab} [/TEX]
[TEX]<=> (1+ b^2)(1+ab) + (1+a^2)(1 +ab) \leq 2(1+a^2)(1+ b^2) [/TEX]
[TEX]<=>1 + b^2 +ab + ab^3 + 1 +a^2 +ab + a^3b - 2(1 +a^2 +b^2 +a^2b^2) \leq 0 [/TEX]
[TEX]<=> ab(a^2 - 2ab +b^2) - (a^2 +2ab +b^2) \leq 0 [/TEX]
[TEX]<=> (ab -1)(a-b)^2 \leq 0 [/TEX]
Điều này hiển nhiên đúng do [TEX]ab \leq 1[/TEX]( a,b thuộc khoảng [TEX][0;1][/TEX]); [TEX](a-b)^2 \geq 0 [/TEX]
Dấu "[TEX]=[/TEX]" khi và chỉ khi [TEX]a =b =1 [/TEX]

 

[Hạnh Hạnh Alison]

[TEX]\frac{1}{1 + a^2 } + \frac{1}{1+b^2} \leq \frac{2}{1+ab} [/TEX]
[TEX]<=> (1+ b^2)(1+ab) + (1+a^2)(1 +ab) \leq 2(1+a^2)(1+ b^2) [/TEX]
[TEX]<=>1 + b^2 +ab + ab^3 + 1 +a^2 +ab + a^3b - 2(1 +a^2 +b^2 +a^2b^2) \leq 0 [/TEX]
[TEX]<=> ab(a^2 - 2ab +b^2) - (a^2 +2ab +b^2) \leq 0 [/TEX]
[TEX]<=> (ab -1)(a-b)^2 \leq 0 [/TEX]
Điều này hiển nhiên đúng do [TEX]ab \leq 1[/TEX]( a,b thuộc khoảng [TEX][0;1][/TEX]); [TEX](a-b)^2 \geq 0 [/TEX]
Dấu "[TEX]=[/TEX]" khi và chỉ khi [TEX]a =b =1 [/TEX]

Chỗ dòng thứ 4 từ dưới lên vế sau phải là a^2-2ab+b^2 chứ bác^^^

 

[Quân Nguyễn 209]

Chỗ dòng thứ 4 từ dưới lên vế sau phải là a^2-2ab+b^2 chứ bác^^^

Ở đâu vậy bác :v Seo e ko thấy ._.

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Ở đâu vậy bác :v Seo e ko thấy ._.

chắc bước này ^^

$ab(a^2 - 2ab +b^2) - (\color{red}{a^2 +2ab +b^2}) \leq 0$

 

[Hạnh Hạnh Alison]

chắc bước này ^^

Chuẩn chỗ đó

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 1: Cho x,y,z thuộc R và x^2+y^2+z^2=1. CMR
[tex]\frac{-1}{2}\leq xy+yz+zx[/tex]
Bài 2: Cho 0<x<=y<=z. CMR
[tex]y(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (\frac{1}{x}+\frac{1}{z})(x+z)[/tex]
Bài 3: Cho a,b,c>=0 , đôi 1 phân biệt. CMR
[tex](ab+bc+ca)(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})\geq 4[/tex]
Bài 4: Cho a,b,c thuộc khoảng [0;1].CMR
[tex]\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3abc[/tex]
Bài 5: Cho a,b thuộc khoảng [0;1].CMR
[tex]\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\leq \frac{2}{1+ab}[/tex]
Bài 6: Cho a<=b<=c.CMR
[tex](a-b+c)(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 1[/tex]

Bài 4:
$VT \geq \dfrac{9}{6-(a+b+c)}$
Ta có điều phải chứng minh: $\dfrac{9}{6-(a+b+c)} \geq 3abc$
Dễ thấy $6-(a+b+c)>0$
Do đó dpcm tương đương: $3 \geq 6abc-abc(a+b+c) \Rightarrow abc(a+b+c)+3 \geq 6abc$
Đặt $\sqrt[3]{abc}=X$
$VT \geq 3abc\sqrt[3]{abc}+3=3X^4+3$
Cần cm $3X^4+3 \geq 6abc=6X^3 \Rightarrow 3(X-1)(X^2-X^2-X-1) \geq 0$
Điều này hiển nhiên đúng do $X \leq 1$
BĐT được chứng minh.
Dấu '=' khi chẳng hạn $a=b=c=1$
Có 1 cách khác cho mấy bạn dạng có đoạn $[a,b]$ thế này thì đạo hàm theo 1 biến(đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2) rồi tìm tính nghịch biến, đồng biến của đạo hàm rồi chỉ ra xảy ra min,max chỉ tại điểm biên(Tức là tại $a$ hoặc $b$) mà cách này khó hiểu hơn :v Gặp bài này phức tạp thì làm cách này :V

 

[Hạnh Hạnh Alison]

Bài 4:
$VT \geq \dfrac{9}{6-(a+b+c)}$
Ta có điều phải chứng minh: $\dfrac{9}{6-(a+b+c)} \geq 3abc$
Dễ thấy $6-(a+b+c)>0$
Do đó dpcm tương đương: $3 \geq 6abc-abc(a+b+c) \Rightarrow abc(a+b+c)+3 \geq 6abc$
Đặt $\sqrt[3]{abc}=X$
$VT \geq 3abc\sqrt[3]{abc}+3=3X^4+3$
Cần cm $3X^4+3 \geq 6abc=6X^3 \Rightarrow 3(X-1)(X^2-X^2-X-1) \geq 0$
Điều này hiển nhiên đúng do $X \leq 1$
BĐT được chứng minh.
Dấu '=' khi chẳng hạn $a=b=c=1$
Có 1 cách khác cho mấy bạn dạng có đoạn $[a,b]$ thế này thì đạo hàm theo 1 biến(đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2) rồi tìm tính nghịch biến, đồng biến của đạo hàm rồi chỉ ra xảy ra min,max chỉ tại điểm biên(Tức là tại $a$ hoặc $b$) mà cách này khó hiểu hơn :v Gặp bài này phức tạp thì làm cách này :V

Còn cách bafi4 và bài 6 nữa bác ạ

 

[Hạnh Hạnh Alison]

Bài 4:
$VT \geq \dfrac{9}{6-(a+b+c)}$
Ta có điều phải chứng minh: $\dfrac{9}{6-(a+b+c)} \geq 3abc$
Dễ thấy $6-(a+b+c)>0$
Do đó dpcm tương đương: $3 \geq 6abc-abc(a+b+c) \Rightarrow abc(a+b+c)+3 \geq 6abc$
Đặt $\sqrt[3]{abc}=X$
$VT \geq 3abc\sqrt[3]{abc}+3=3X^4+3$
Cần cm $3X^4+3 \geq 6abc=6X^3 \Rightarrow 3(X-1)(X^2-X^2-X-1) \geq 0$
Điều này hiển nhiên đúng do $X \leq 1$
BĐT được chứng minh.
Dấu '=' khi chẳng hạn $a=b=c=1$
Có 1 cách khác cho mấy bạn dạng có đoạn $[a,b]$ thế này thì đạo hàm theo 1 biến(đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2) rồi tìm tính nghịch biến, đồng biến của đạo hàm rồi chỉ ra xảy ra min,max chỉ tại điểm biên(Tức là tại $a$ hoặc $b$) mà cách này khó hiểu hơn :v Gặp bài này phức tạp thì làm cách này :V

E nhầm ạ! Giúp e bài 6 thôi ạ. Bafi3 có hướng làm r bác ơi