BDT toán !

[thienlong_cuong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp em vs nhé !
Bài ni em nhớ ai đó post rùi nhưng em ko biết tìm link ở đâu ! Thui thì mong các bậc tiền bối hỗ trợ

Cho x ; y ; z là các số thực dương
CMR :

[TEX]\sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2}} + \sqrt{z^2 + \frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{82}[/TEX]

bài 2 : CHo a ; b ; c; d \geq 1
CMR
[TEX]\frac{1}{1 + a^4} + \frac{1}{1 + b^4} + \frac{1}{1 + c^4} + \frac{1}{1 + d^4} \geq \frac{4}{1 + abcd} [/TEX]

 

[bboy114crew]

giúp em vs nhé !
Bài ni em nhớ ai đó post rùi nhưng em ko biết tìm link ở đâu ! Thui thì mong các bậc tiền bối hỗ trợ

Cho x ; y ; z là các số thực dương
CMR :

[TEX]\sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2}} + \sqrt{z^2 + \frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{82}[/TEX]

bài 2 : CHo a ; b ; c; d \geq 1
CMR
[TEX]\frac{1}{1 + a^4} + \frac{1}{1 + b^4} + \frac{1}{1 + c^4} + \frac{1}{1 + d^4} \geq \frac{4}{1 + abcd} [/TEX]

Bài 1:
pahỉ có ĐK: a+b+c=? mới làm được!
Bài 2:
sử dụng BĐT phu:
[TEX]\frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + y^2} \geq \frac{2}{1+xy}[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

Bài 1:
pahỉ có ĐK: a+b+c=? mới làm được!
Bài 2:
sử dụng BĐT phu:
[TEX]\frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + y^2} \geq \frac{2}{1+xy}[/TEX]

Bài 1 thì em ko nhớ rõ đề
Bài 2 :
Em có biết BDT đó nhưng áp dụng thế nào đc ạ !???
Nó có dạng tổng quát nhưng em lại ko biết chứng minh theo hướng nào ! Nghi theo quy nạp nhưng lại ko biết cách ! Mong anh chứng minh hộ !

 

[tuyn]

Bài 1:
pahỉ có ĐK: a+b+c=? mới làm được!
Bài 2:
sử dụng BĐT phu:
[TEX]\frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + y^2} \geq \frac{2}{1+xy}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4} \geq \frac{2}{1+a^2b^2}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{1+c^4}+\frac{1}{d^4} \geq \frac{2}{1+c^2d^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT \geq \frac{2}{1+a^2b^2}+\frac{2}{1+c^2d^2} =2(\frac{1}{1+a^2b^2}+\frac{1}{1+c^2d^2}) \geq 2.\frac{2}{1+abcd}=\frac{4}{1+abcd}[/TEX]

 

[tuyn]

Bài 1 hình như thêm điều kiện a+b+c = 9
Khi đó ta làm như sau:
Tìm 2 số [TEX]\alpha,\beta > 0[/TEX] sao cho [TEX]\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}.\sqrt{\alpha^2+\beta^2} \geq \alpha x+\beta \frac{1}{x}[/TEX] dấu bằng xảy ra khi x=3 và [TEX]\frac{\alpha}{x}=\beta x[/TEX] \Rightarrow [TEX]\alpha=9\beta[/TEX]
chọn [TEX]\beta=1 \Rightarrow \alpha=9[/TEX]
Vậy ta có:
[TEX]\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \geq \frac{1}{\sqrt{82}}(9x+\frac{1}{x})[/TEX]
Tương tự ta có: [TEX]\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}} \geq \frac{1}{\sqrt{82}}(9y+\frac{1}{y})[/TEX]
[TEX]\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \frac{1}{\sqrt{82}}(9z+\frac{1}{z})[/TEX]
Cộng vế với vế ta được:
[TEX]VT \geq \frac{1}{\sqrt{82}}[9(x+y+z)+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})] \geq \frac{9}{\sqrt{82}}[(x+y+z)+\frac{1}{x+y+z}]=\sqrt{82}[/TEX]
Hi vọng không sai.hiiiiiiiiiiiiiiiiii

 

[thienlong_cuong]

Bài 1 hình như thêm điều kiện a+b+c = 9
Khi đó ta làm như sau:
Tìm 2 số [TEX]\alpha,\beta > 0[/TEX] sao cho [TEX]\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}.\sqrt{\alpha^2+\beta^2} \geq \alpha x+\beta \frac{1}{x}[/TEX] dấu bằng xảy ra khi x=3 và [TEX]\frac{\alpha}{x}=\beta x[/TEX] \Rightarrow [TEX]\alpha=9\beta[/TEX]
chọn [TEX]\beta=1 \Rightarrow \alpha=9[/TEX]
Vậy ta có:
[TEX]\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \geq \frac{1}{\sqrt{82}}(9x+\frac{1}{x})[/TEX]
Tương tự ta có: [TEX]\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}} \geq \frac{1}{\sqrt{82}}(9y+\frac{1}{y})[/TEX]
[TEX]\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \frac{1}{\sqrt{82}}(9z+\frac{1}{z})[/TEX]
Cộng vế với vế ta được:
[TEX]VT \geq \frac{1}{\sqrt{82}}[9(x+y+z)+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})] \geq \frac{9}{\sqrt{82}}[(x+y+z)+\frac{1}{x+y+z}]=\sqrt{82}[/TEX]
Hi vọng không sai.hiiiiiiiiiiiiiiiiii

biến a ; b ;c đc đổi = biến x ; y ; z rùi !????

Buớc cuối ko hiểu tý nào cả hết á !Hình như buớc cuối cùng sai ùi ! =((


Phiền anh chị có thể chứng minh BDT trên tổng quát vs n biến đc ko ạ !???

 

[hahaha123321]

biến a ; b ;c đc đổi = biến x ; y ; z rùi !????

Buớc cuối ko hiểu tý nào cả hết á !Hình như buớc cuối cùng sai ùi ! =((


Phiền anh chị có thể chứng minh BDT trên tổng quát vs n biến đc ko ạ !???

Bước cuối là tổng các bước nhỏ lại xong rồi thêm cái [TEX]\sum_{cyc} \frac{1}{a} \ge \frac{9}{\sum_{cyc} a}[/TEX]

Tổng quát n biến thì dùng Mincovsky.

 

[hahaha123321]

Bài 1 thì em ko nhớ rõ đề
Bài 2 :
Em có biết BDT đó nhưng áp dụng thế nào đc ạ !???
Nó có dạng tổng quát nhưng em lại ko biết chứng minh theo hướng nào ! Nghi theo quy nạp nhưng lại ko biết cách ! Mong anh chứng minh hộ !

Dạng tổng quát của nó là JenSen theo trung bình nhân hay nói chung hơn thì nó là Karamata, cấp 2 thì chả cần dùng đến đâu ,chỉ dùng đến cái trên thôi ,chứng minh thì chú tự quy đồng hết lên xong phân tích thành 2 cái bình phương , chúc thành công =,=

 

[linhhuyenvuong]

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=1532263#post1532263
điều kiện [TEX]x+y+z \leq 1 [/TEX]

thienlong_cuong
Bài 1 thì em ko nhớ rõ đề
Bài 2 :
Em có biết BDT đó nhưng áp dụng thế nào đc ạ !???
Nó có dạng tổng quát nhưng em lại ko biết chứng minh theo hướng nào ! Nghi theo quy nạp nhưng lại ko biết cách ! Mong anh chứng minh hộ !

Xét hiệu là ra!

 

[conan_edogawa93]

giúp em vs nhé !
Bài ni em nhớ ai đó post rùi nhưng em ko biết tìm link ở đâu ! Thui thì mong các bậc tiền bối hỗ trợ

Cho x ; y ; z là các số thực dương
CMR :

[TEX]\sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2}} + \sqrt{z^2 + \frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{82}[/TEX]

bài 2 : CHo a ; b ; c; d \geq 1
CMR
[TEX]\frac{1}{1 + a^4} + \frac{1}{1 + b^4} + \frac{1}{1 + c^4} + \frac{1}{1 + d^4} \geq \frac{4}{1 + abcd} [/TEX]

Bài 1 : Một cách đơn giản. Nếu
[tex]x+y+z\le 1\\ \sum\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge^{Mincopxki}\sqrt{(x+y+z)^2+(\sum\frac{1}{x})^2}\\\ge\sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{(x+y+z)^2}}\\=\sqrt{(x+y+z)^2+\frac{1}{(x+y+z)^2}+\frac{80}{(x+y+z)^2}}\ge^{diem-roi}\sqrt{82}=>\vec{OK}[/TEx]
Bài 2: Nó còn có một CT Tổng Quát )
[TEX]a_1,a_2,...,a_n>1=>\frac{1}{1+a_1^n}+\frac{1}{1+a_2^n}+....+\frac{1}{1+a_n^n}\ge\frac{1}{1+\sqrt[n]{a_1^n..a_n^n}}=\frac{1}{1+a_1a_2....a_n}[/TEX]
Chứng minh BĐT Tổng Quát này vẫn có thể dựa vào BĐT:
[TEX]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{1}{1+\sqrt{ab}} (a,b>1)[/tex]
để chứng minh nó . Thích ngắn thì thử hàm lồi , lõm ) .
Và nếu bài toán cho [tex]a,b<1[/tex] thì nó sẽ đảo dấu và tương tự )

 

[viettb_tb]

Đề thi chuyên Hùng Vương - BD

3)Cho tứ giác ABCD có AB=CD ;gọi I, K lần lượt là trung điểm của đường chéo AC và BD . Chứng minh rằng đường thẳng IK tạo với AB và CD những góc bằng nhau
4)Trong tất cả các tam giác có cùng chiều dài của một cạnh là a và có cùng chiều cao tương ứng với cạnh ấy là h , hãy tìm tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp trong tam giác ấy lớn nhất

 

[thienlong_cuong]

Thêm 1 bài cho các bậc tiền bối chém nè !
Cho x; y ; z là các số thực dương t/m : x + y + z = 1
CMR :
[TEX]P = \frac{x}{1 + x^2} + \frac{y}{1 + y^2} + \frac{z}{1 + z^2} \leq \frac{9}{10}[/TEX]

 

[khanh_ndd]

Thêm 1 bài cho các bậc tiền bối chém nè !
Cho x; y ; z là các số thực dương t/m : x + y + z = 1
CMR :
[TEX]P = \frac{x}{1 + x^2} + \frac{y}{1 + y^2} + \frac{z}{1 + z^2} \leq \frac{9}{10}[/TEX]

Nhầm!!!

bài này mạnh hơn bài Poland MO 1997, nguyên văn của nó là
Cho [TEX]x,y,z[/TEX] là các số thực thỏa mãn [TEX]x,y,z\geq \frac{-3}{4}[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\sum \frac{x}{x^2+1}\leq \frac{9}{10}[/TEX]
với bài này sử dụng pp tiếp tuyến ta sẽ chứng minh
[TEX]\frac{a}{1+a^2}\leq \frac{36a+3}{50}[/TEX] (cái này đúng theo giả thiết [TEX]x,y,z\geq \frac{-3}{4}[/TEX])

 

[bboy114crew]

Thêm 1 bài cho các bậc tiền bối chém nè !
Cho x; y ; z là các số thực dương t/m : x + y + z = 1
CMR :
[TEX]P = \frac{x}{1 + x^2} + \frac{y}{1 + y^2} + \frac{z}{1 + z^2} \leq \frac{9}{10}[/TEX]

theo AM-GM:
[TEX]x^2+1=x^2+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+ \frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+ \frac{1}{9}+\frac{1}{9} \geq 10 \sqrt[10]{\frac{x^2}{9^9}}=10\sqrt[5]{\frac{x}{3^9}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P\leq \frac{3}{10}\left(\sqrt[5]{(3x)^4}+\sqrt[5]{(3y)^4}+\sqrt[5]{(3z)^4} \right)[/TEX].
Mà cũng theo Côsi thì :[TEX]3x+3x+3x+3x+1 \geq 5\sqrt[5]{(3x)^4}[/TEX].
Tương tự với y,z suy ra:[TEX]\sqrt[5]{(3x)^4}+\sqrt[5]{(3y)^4}+\sqrt[5]{(3z)^4} \leq 3 \Rightarrow P \le \frac{9}{10}[/TEX]

 

[hahaha123321]

Cần mạnh hơn nữa không :-/


a,b,c là các số thực thỏa mãn [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh rằng:

[TEX]\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1} \le \frac{9}{10}[/TEX]



Vào chỗ " Chia để trị " nhá

 

[asroma11235]

Cho:

Tìm giá trị lớn nhất:

 

[hahaha123321]

Cho:

Tìm giá trị lớn nhất:

[TEX]abc+(3-a)(3-b)(3-c) \ge 0[/TEX]


Next đi :-/ .

 

[khanh_ndd]

Cần mạnh hơn nữa không :-/


a,b,c là các số thực thỏa mãn [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh rằng:

[TEX]\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1} \le \frac{9}{10}[/TEX]



Vào chỗ " Chia để trị " nhá

Sorry, nhầm một cách tai hại, mình nhầm với bài trong Old and new đã làm. OMG!!!
Đành phải dùng "chia để trị"
WLOG, giả sử

khi đó ta có

Xét 2 trường hợp

( bên trên )
2.

theo AM-GM ta có:

tới đây xét tiếp 2 trường hợp:
-Nếu

thì hiển nhiên

và ta có đpcm.
-Nếu

thì ta có

nên

đúng

 

[asroma11235]

[TEX]abc+(3-a)(3-b)(3-c) \ge 0[/TEX]


Next đi :-/ .

thích thì đây:
Cho a,b,c > 0 và

CM:

p/s: bài kia giải thế à????

 

[hahaha123321]

Làm gì phải "chia để trị" cho mệt người, chỉ cần trở về tuổi thơ với AM-GM và Cauchy-Schwarz

[TEX]\sum (\frac{1}{x^2 + (x+y+z)^2} )= \sum (\frac{2}{2(x+z)(x+z) + (x+y)^2 + (x+z)^2 + (y+z)^2})=\sum \frac{2}{((x+y)+(x+z))^2 + (y+z)^2}= \sum \frac{2}{(1+x)^2 + (y+z)^2}\leq \frac{27}{10}...[/TEX]
( Cauchy-Schwarz có trọng số )

không biết mình có nhìn nhầm không nhưng mà tử số là x chứ đâu phải 1 nhể, với cả nhầm 27 với 9 à :-/