Toán 9 BĐT ÔN THI VÀO LỚP 10

[Nguyễn Hương Trà]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực a,b thỏa mãn điều kiện [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/tex]
Tìm min của biểu thức:F=ab+bc+2ca

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Đặt $k=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$
Ta có:
$F=ab+bc+2ca
\\=\dfrac{1}{k}a.(kb)+\dfrac{1}{k}c.(kb)+2ca
\\\leq \dfrac{1}{2k}(a^2+k^2b^2)+\dfrac{1}{2k}(b^2+k^2b^2)+c^2+a^2
\\=a^2(\dfrac{1}{2k}+1)+c^2(\dfrac{1}{2k}+1)+b^2k$
Do $k=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$ nên $\dfrac{1}{2k}+1=k$.
Do đó $F \leq k(a^2+b^2+c^2)=k=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$
Dấu '=' khi $a=c=kb$ và $a+b+c=1$ bạn tự chỉ ra giá trị $a,b,c$ nhé

 

[Tony Time]

Đặt k=1+3–√2k=1+32k=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}
Ta có:
F=ab+bc+2ca=1ka.(kb)+1kc.(kb)+2ca≤12k(a2+k2b2)+12k(b2+k2b2)+c2+a2=a2(12k+1)+c2(12k+1)+b2kF=ab+bc+2ca=1ka.(kb)+1kc.(kb)+2ca≤12k(a2+k2b2)+12k(b2+k2b2)+c2+a2=a2(12k+1)+c2(12k+1)+b2kF=ab+bc+2ca \\=\dfrac{1}{k}a.(kb)+\dfrac{1}{k}c.(kb)+2ca \\\leq \dfrac{1}{2k}(a^2+k^2b^2)+\dfrac{1}{2k}(b^2+k^2b^2)+c^2+a^2 \\=a^2(\dfrac{1}{2k}+1)+c^2(\dfrac{1}{2k}+1)+b^2k
Do k=1+3–√2k=1+32k=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2} nên 12k+1=k12k+1=k\dfrac{1}{2k}+1=k.
Do đó F≤k(a2+b2+c2)=k=1+3–√2F≤k(a2+b2+c2)=k=1+32F \leq k(a^2+b^2+c^2)=k=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}
Dấu '=' khi a=c=kba=c=kba=c=kb và a+b+c=1a+b+c=1a+b+c=1 bạn tự chỉ ra giá trị a,b,ca,b,ca,b,c nhé

Làm sao biết mà đặt k=..... vậy Hiếu?

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Làm sao biết mà đặt k=..... vậy Hiếu?

Phương pháp này gần giống U.C.T à mà gọi chung hệ số bất định đi.
Nhìn cái cái gt và cái biểu thức $F$ thì dễ thấy dấu bằng khi $a=c$.
Chưa biết bằng bao nhiêu $k$ nên dấu bằng khi $a=bk=c$.
rồi thay vào biểu thức như trên tách AM-GM theo điểm rơi.
Lúc này cần tìm $k$ sao cho $1+\dfrac{1}{2k}=k$ là ok

 

[Quân Nguyễn 209]

Phương pháp này gần giống U.C.T à mà gọi chung hệ số bất định đi.
Nhìn cái cái gt và cái biểu thức $F$ thì dễ thấy dấu bằng khi $a=c$.
Chưa biết bằng bao nhiêu $k$ nên dấu bằng khi $a=bk=c$.
rồi thay vào biểu thức như trên tách AM-GM theo điểm rơi.
Lúc này cần tìm $k$ sao cho $1+\dfrac{1}{2k}=k$ là ok

Bữa nào làm topic về cái này nhé a @Nguyễn Xuân Hiếu . E yếu bđt nên ko bik rõ