BĐT khó-Đề Thi HSG Bắc Giang 2013

[xuanhoi95hhbg]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0, a+b+c=1

Cm: [TEX]\frac{a-bc}{a+bc} +\frac{b-ca}{b+ca} +\frac{c-ab}{a+ab}\leq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[nguyendotuan]

Bài này khá đơn giản:
Trưóc hết
a+bc=a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)
b+ac=(b+a)(b+c)
c+ab=(c+a)(c+b)
Tiến hành quy đồng
Đưa bất đẳng thức về
[TEX]\frac{(a-bc)(b+c)+(b-ca)(a+c)+(c-ab)(a+b)}{(a+b)(a+c)(b+c)}\le \frac{3}{2}[/TEX]
[TEX]<=> \frac{2(ab+bc+ca)(a+b+c)-bc(b+c)-ca(c+a)-ab(a+b)-bc(b+c)}{(a+b)(c+a)(a+b)\le \frac{3}{2}[/TEX]
[TEX]<=>\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)+6abc}{(a+b)(a+c)(b+c)le \frac{3}{2}[/TEX]
[TEX]<=>1+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\le \frac{3}{2}[/TEX] đến đây thì ổn rồi vì [TEX](a+b)(c+a)(b+c)\ge 8abc [/TEX](cauchy)