BĐt khÓ ĐÂy

[conangcatinh711]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1
CMR: $\dfrac{a+b}{\sqrt{a^2+b}}+\dfrac{b+c}{\sqrt{b+c^2}}$ \leq 2

Sử dụng quá nhiều icon (cho phép < 5), gõ latex nha bạn

 

[baihocquygia]

đội 7

Ta sử dụng BDT cauchy-schwarz ta có
([TEX]\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b}}[/TEX] + [TEX]\frac{b+c}{\sqrt{b+c^2}}[/TEX])^2
\leq 2[[TEX]\frac{(a+b)^2}{a^2+b}[/TEX]+[TEX]\frac{(b+c)^2}{b+c^2}[/TEX]]
Ta lại có [TEX]\frac{a+b)^2}{a^2+b}[/TEX] = [TEX]\frac{(a+b)^2}{a(a+b)+b(b+c)}[/TEX]
\leq [TEX]\frac{a^2}{a(a+b)}[/TEX] + [TEX]\frac{b^2}{b(b+c)}[/TEX] = a/(a+b)+b/(b+c)
Tương tự [TEX]\frac{(b+c)^2}{b+c^2}[/TEX] \leq c/(c+b) +b/(b+a)
\Rightarrow cộng hai bất đẳng thức lại ta được đpcm dấu bằng xảy ra khi a=c