BĐT Hay+Khó

[meomeo_f94]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: CM [TEX](\frac{1}{n}+1)^n\leq(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}[/TEX]
Bầi 2: CM 1x2x3x..x (2n-1) [TEX]\leq[/TEX] [TEX]n^n[/TEX] [TEX]\forall[/TEX] [TEX]n\in Z[/TEX]
Bài 3: Cho [TEX]x_1,x_2,..., x_n > \ 0[/TEX]
Đặt [TEX]S=x_1+x_2+...+x_n[/TEX]
CM: [TEX]\frac{S}{S-x_1}+\frac{S}{S-x_2}+...+\frac{S}{S-x_n}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]\frac{n^2}{n-1}[/TEX]


giúp mình nhé
thanks mọi người nhiều

 

[meomeo_f94]

Bài 4: CM:[TEX]\sqrt[n]{(n+1)!}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]1+\sqrt[n]{n!}[/TEX]
Bài 5: Giả sử [TEX]x_1,x_2,...,x_5[/TEX] tương ứng là nghiệm của BPT[TEX]4x^2-4 a_i x+(a_i +1) \leq 0[/TEX]
Trong đó: [TEX]\frac{1}{2}[/TEX][TEX]\leq[/TEX] [TEX]a_i \leq 5[/TEX] với i=1,2,...,5
CM:
[TEX]\sqrt{\frac{(x_1)^2+(x_2)^2+...+(x_5)^2}{5}} [/TEX][TEX]\leq\[/TEX] [TEX]\frac{5+x_1+x_2+...+x_5}{5}[/TEX]

 

[tuyn]

bài 2,3 dùng BĐT côsi cho n số
a1.a2.a3...an<=[(a1+a2+a3+...+an)/n]^n
và a1+a2+...+an>=n.căn bậc n của a1.a2...an

 

[tuyn]

áp dụng BĐT Côsi cho n+1 số
(1+1/n)+(1+1/n)+...+(1+1/n)+1\geq(n+1).[TEX]\sqrt[n+1]{(1+1/n)^n}[/TEX]
\Leftrightarrow(n+2)^(n+1)\geq(n+1)^(n+1).(1+1/n)^n
\Rightarrow[1+1/(n+1)]^(n+1)\geq(1+1/n)^n

 

[meomeo_f94]

Bài 4: CM:[TEX]\sqrt[n]{(n+1)!}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]1+\sqrt[n]{n!}[/TEX]
Bài 5: Giả sử [TEX]x_1,x_2,...,x_5[/TEX] tương ứng là nghiệm của BPT[TEX]4x^2-4 a_i x+(a_i +1) \leq 0[/TEX]
Trong đó: [TEX]\frac{1}{2}[/TEX][TEX]\leq[/TEX] [TEX]a_i \leq 5[/TEX] với i=1,2,...,5
CM:
[TEX]\sqrt{\frac{(x_1)^2+(x_2)^2+...+(x_5)^2}{5}} [/TEX][TEX]\leq\[/TEX] [TEX]\frac{5+x_1+x_2+...+x_5}{5}[/TEX]

Thêm nữa
Bài 6; Các cặp số thực [TEX]x_1,x_2,...,x_n[/TEX] thoả mãn điều kiện [TEX] -1 \leq x_i \leq 1[/TEX] với mọi i=1,2,...,n và [TEX]x_1^3+x_2^3+...+x_n^3 = 0[/TEX]
CM: [TEX]x_1+x_2+...+x_n\leq \frac{n}{3}[/TEX]

 

[meomeo_f94]

Bài 7: CM: [TEX]n \in N[/TEX]: [TEX]\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{2}} \leq \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{n^2}[/TEX]



Bài 8: Giả sử phương trình P(x)=0 có n nghiệm thực



Với [TEX]P(x)=x^n + a_{n-1} x^{n-1} +...+ a_1x + 1[/TEX]



[TEX]a_k \geq 0[/TEX] mọi k=1,2,...,n-1



CM: [TEX]P(2) \geq 3^n[/TEX]

 

[letrang3003]

Bài 1: CM [TEX](\frac{1}{n}+1)^n\leq(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}[/TEX]

 

[meomeo_f94]

Bài 7: CM: [TEX]n \in N[/TEX]: [TEX]\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{2}} \leq \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{n^2}[/TEX]
Bài 8: Giả sử phương trình P(x)=0 có n nghiệm thực
Với [TEX]P(x)=x^n + a_{n-1} x^{n-1} +...+ a_1x + 1[/TEX]
[TEX]a_k \geq 0[/TEX] mọi k=1,2,...,n-1
CM: [TEX]P(2) \geq 3^n[/TEX]

làm 2 bài nầy hộ vs mọi người ơiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

 

[letrang3003]

Bài 7: CM: [TEX]n \in N[/TEX]: [TEX]\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{2}} \leq \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{n^2}[/TEX]

Giả sử BDT đã đúng với n : tức là :

ta sẽ chứng minh BDT đúng với n+1 như sau :

sử dụng khai triển niwton thì :

 

[bigbang195]

Thêm nữa
Bài 6; Các cặp số thực [TEX]x_1,x_2,...,x_n[/TEX] thoả mãn điều kiện [TEX] -1 \leq x_i \leq 1[/TEX] với mọi i=1,2,...,n và [TEX]x_1^3+x_2^3+...+x_n^3 = 0[/TEX]
CM: [TEX]x_1+x_2+...+x_n\leq \frac{n}{3}[/TEX]

do

nên tồn tại

thỏa mãn

Ta có :

 

[bigbang195]

Bài 8: Giả sử phương trình P(x)=0 có n nghiệm thực



Với [TEX]P(x)=x^n + a_{n-1} x^{n-1} +...+ a_1x + 1[/TEX]



[TEX]a_k \geq 0[/TEX] mọi k=1,2,...,n-1



CM: [TEX]P(2) \geq 3^n[/TEX]

Dễ thấy do các hệ số đều là dương nên PT không thể có nghiệm dương . đặt các nghiệm âm đó là

Suy ra:

Bây giờ ta sẽ chứng minh quy nạp bổ đề sau :

với mọi số

thì ta có BDT :

dễ thấy BDT đúng với n=2^k vì nó là hệ quả của nhiều lần áp dụng BDT Bunhia.

giả sử BDT đã đúng với n+1 thì :

chia cả 2 vế cho :

ta có BDT đúng với n vậy theo nguyên lí quy nạp nó đúng với mọi n.


Áp dụng bổ đề :

Theo Viettè thì

Bài toán được hoàn tất.

 

[meomeo_f94]

con` ba`i 4 vs ba`i 5 nua~ kia`
.................................................................................