BĐT đại học

V

vietanh195

tiếp bài hệ Pt

giả sử hệ pt sau có nghiệm
[TEX]\ ax + by = c[/TEX]
[TEX]\ bx + cy = a[/TEX]
[TEX]\ cx + ay = b[/TEX]
Cm : [TEX]\ a^3 + b^3 +c^3 = 3abc[/TEX]
 
L

lamhongquanghp

cái này là xảy ra dấu = rồi còn tìm MAX làm sao đc.
Dùng bunhia để cm dấu =
 
V

vietanh195

cái này thử với x=y =0 vẫn cứ đúng ,nhưng từ jả thiết thì có x+y=1. khó hiểu
 
K

kakashi168

V

vietanh195

thử bài lượng nè

Giải pt
[TEX]\ sin^2x + sin^2y +sin^2(x+y) =\frac{9}{4} [/TEX]
 
V

vietanh195

sao không ai trả lời cả thế************************************************************************************************************************************************.................
 
V

vodichhocmai

vietanh195 said:
giả sử hệ pt sau có nghiệm
[TEX]\ ax + by = c [/TEX]
[TEX]\ bx + cy = a[/TEX]
[TEX]\ cx + ay = b[/TEX]
Cm : [TEX]\ a^3 + b^3 +c^3 = 3abc[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Hệ có nghiệm thì :

[TEX]\left{ ax + by = c\\bx + cy = a[/TEX]
phải có nghiệm


[TEX]\left{D=ac-b^2\ne 0\\D_x=c^2-ab\\D_y=a^2-bc[/TEX]

[TEX]\left{x=\frac{c^2-ab}{ac-b^2}\\y=\frac{a^2-bc}{ac-b^2} [/TEX]

[TEX]A(x;y)[/TEX] là nghiệm chung của hệ nên :

[TEX]\Rightarrow\ \ \frac{c^2-ab}{ac-b^2}.c+\frac{a^2-bc}{ac-b^2}.a=b [/TEX]

[TEX]\Rightarrow\ \ \ a^3 + b^3 +c^3 = 3abc\ \ (dpcm)[/TEX]
 
V

vodichhocmai

vietanh195 said:
cho [TEX]\ x^2 + y^2 = 16 ; u^2 + k^2 = 25; xu + yk \geq 20 [/TEX] tìm Max [TEX]\ x+k[/TEX]
làm jùm cụ thể bài này cái
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\left{x=4sin a\\ y=4cosa\\ u=5cos b\\k=5sinb[/TEX]

[TEX]20\le xu + yk = 20sin (a+b)\le 20 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow a+b=\frac{\pi}{2}+k2\pi[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x+k=4sin a+5sin b=4sin a+5cosa\le \sqrt{41}[/TEX]
 
V

vodichhocmai

vietanh195 said:
Giải pt
[TEX]\ sin^2x + sin^2y +sin^2(x+y) =\frac{9}{4} [/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]VT= P= \frac{1-cos2x}{2}+ \frac{1-cos2y}{2}+sin^2(x+y) [/TEX]

[TEX]= 1- cos(x+y).cos(x-y)+1-cos^2(x+y) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos^2(x+y)+ cos(x+y).cos(x-y) +P-2=0 [/TEX] có nghiệm .

[TEX]\Leftrightarrow \Delta=cos^2(x-y)- 4P+8\ge 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow P\le \frac{9}{4}[/TEX]

Quay lại bài toán :

[TEX]sin^2x + sin^2y +sin^2(x+y) =\frac{9}{4} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{cos(x-y)=\pm 1\\cos(x+y)=\pm \frac{1}{2}[/TEX]

[TEX]OK^n[/TEX]
 
V

vietanh195

tiếp bài BDT

cho a ,b,c llà 3 số thực dương thoã mãn ab +bc +ca =3
CM
[TEX]\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+c^2(b+a)}\leq\frac{1}{abc}[/TEX]
 
V

vietanh195

ko co ai làm àh************************************************************************************************............
 
K

kakashi168

vietanh195 said:
cho a ,b,c llà 3 số thực dương thoã mãn ab +bc +ca =3
CM
[TEX]\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+c^2(b+a)}\leq\frac{1}{abc}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]3 =ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \Right abc \leq 1[/TEX]

[TEX]\Right \sum \frac{1}{1+a^2(b+c)} \leq \sum \frac{1}{abc+a^2(b+c)} = \sum \frac{1}{3a} = \frac{1}{abc}[/TEX]
 
V

vodichhocmai

bakien89 said:
cách này mình không hiểu lắm, vodich đại ka có cách nào khác không ??
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
vietanh195 said:
cho a ,b,c llà 3 số thực dương thoã mãn ab +bc +ca =3
CM
[TEX]\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+c^2(b+a)}\leq\frac{1}{abc}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Dùng đồng bậc :

[TEX]3=ab+bc+ca\ge 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le 1[/TEX]

Chú ý rằng : [TEX]abc+a^2(b+c)=a\(bc+ab+ac)=3a[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT\le \frac{1}{abc+a^2(b+c)}+ \frac{1}{abc+b^2(a+c)}+ \frac{1}{abc+c^2(b+a)}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT\le \frac{1}{3}\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT\le \frac{1}{3} \(\frac{ab+bc+ca}{abc}\)=(dpcm)[/TEX]
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom