Toán 9 bđt cực trị

Kinami Syrex

Học sinh mới
Thành viên
25 Tháng mười hai 2018
30
14
6
20
TP Hồ Chí Minh
Trần Đại Nghĩa
Áp dụng bđt [tex]a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}[/tex]
[tex]x^2+4y^2\geq\frac{(x+2y)^2}{2}=\frac{1}{2}[/tex] (1)
Áp dụng bđt Cosi
[tex]x+2y\geq 2√2xy[/tex] [tex]\Leftrightarrow 1\geq 2√2xy[/tex]
Ta có:
[tex]\frac{1}{2xy}=\frac{x+2y}{2xy}=\frac{1}{2y}+\frac{1}{x}[/tex]
Áp dụng bđt Cosi
[tex]\frac{1}{2y}+\frac{1}{x}\geq 2√\frac{1}{2xy}[/tex]
Mà [tex] 1\geq 2√2xy[/tex]
Nên [tex]\frac{1}{2y}+\frac{1}{x}\geq2[/tex] (2)
Ta cộng vế theo vế của (1) và (2)
S [tex]\geq \frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi x=2y
Suy ra x = 1/2 ; y = 1/4
 

tiểu tuyết

Học sinh chăm học
HV CLB Hóa học vui
Thành viên
25 Tháng ba 2018
334
225
66
20
Nghệ An
Trường THCS Quỳnh Thiện
Ta có :
[tex]\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+4y^2}=(\frac{1}{4xy}+\frac{1}{x^2+4y^2})+\frac{1}{4xy}[/tex]
Áp dụng BĐT [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}[/tex],ta có
[tex]\frac{1}{4xy}+\frac{1}{x^2+4y^2}\geq \frac{4}{x^2+4xy+4y^2}\geq \frac{4}{(x+2y^2)}=4[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy,ta có [tex]4.2y.x\leq (x+2y)^2=1[/tex]
[tex]=>4xy\leq \frac{(x+2y)^2}{2}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]=>\frac{1}{4xy}\geq 2[/tex]
Cộng lại là ra được nhé bạn
Dấu "=" bạn tự chỉ nhé
 
  • Like
Reactions: Hieupq03

lê thị hồng hà

Học sinh
Thành viên
1 Tháng chín 2018
22
11
31
20
Nghệ An
THCS Quỳnh Châu
cảm ơn bạn nhá


Áp dụng bđt [tex]a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}[/tex]
[tex]x^2+4y^2\geq\frac{(x+2y)^2}{2}=\frac{1}{2}[/tex] (1)
Áp dụng bđt Cosi
[tex]x+2y\geq 2√2xy[/tex] [tex]\Leftrightarrow 1\geq 2√2xy[/tex]
Ta có:
[tex]\frac{1}{2xy}=\frac{x+2y}{2xy}=\frac{1}{2y}+\frac{1}{x}[/tex]
Áp dụng bđt Cosi
[tex]\frac{1}{2y}+\frac{1}{x}\geq 2√\frac{1}{2xy}[/tex]
Mà [tex] 1\geq 2√2xy[/tex]
Nên [tex]\frac{1}{2y}+\frac{1}{x}\geq2[/tex] (2)
Ta cộng vế theo vế của (1) và (2)
S [tex]\geq \frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi x=2y
Suy ra x = 1/2 ; y = 1/4
 

lê thị hồng hà

Học sinh
Thành viên
1 Tháng chín 2018
22
11
31
20
Nghệ An
THCS Quỳnh Châu
Ta có :
[tex]\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+4y^2}=(\frac{1}{4xy}+\frac{1}{x^2+4y^2})+\frac{1}{4xy}[/tex]
Áp dụng BĐT [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}[/tex],ta có
[tex]\frac{1}{4xy}+\frac{1}{x^2+4y^2}\geq \frac{4}{x^2+4xy+4y^2}\geq \frac{4}{(x+2y^2)}=4[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy,ta có [tex]4.2y.x\leq (x+2y)^2=1[/tex]
[tex]=>4xy\leq \frac{(x+2y)^2}{2}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]=>\frac{1}{4xy}\geq 2[/tex]
Cộng lại là ra được nhé bạn
Dấu "=" bạn tự chỉ nhé
cảm ơn bạn
 
Top Bottom