Toán 9 bđt cực trị

[lê thị hồng hà]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x;y > 0 và x+2y = 1 .Tìm GTNN của biểu thức:
S = [tex]\frac{1}{2xy}[/tex] + [tex]\frac{1}{x^{2}+4y^{2}}[/tex]

 

[Kinami Syrex]

Áp dụng bđt [tex]a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}[/tex]
[tex]x^2+4y^2\geq\frac{(x+2y)^2}{2}=\frac{1}{2}[/tex] (1)
Áp dụng bđt Cosi
[tex]x+2y\geq 2√2xy[/tex] [tex]\Leftrightarrow 1\geq 2√2xy[/tex]
Ta có:
[tex]\frac{1}{2xy}=\frac{x+2y}{2xy}=\frac{1}{2y}+\frac{1}{x}[/tex]
Áp dụng bđt Cosi
[tex]\frac{1}{2y}+\frac{1}{x}\geq 2√\frac{1}{2xy}[/tex]
Mà [tex] 1\geq 2√2xy[/tex]
Nên [tex]\frac{1}{2y}+\frac{1}{x}\geq2[/tex] (2)
Ta cộng vế theo vế của (1) và (2)
S [tex]\geq \frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi x=2y
Suy ra x = 1/2 ; y = 1/4

 

[tiểu tuyết]

Ta có :
[tex]\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+4y^2}=(\frac{1}{4xy}+\frac{1}{x^2+4y^2})+\frac{1}{4xy}[/tex]
Áp dụng BĐT [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}[/tex],ta có
[tex]\frac{1}{4xy}+\frac{1}{x^2+4y^2}\geq \frac{4}{x^2+4xy+4y^2}\geq \frac{4}{(x+2y^2)}=4[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy,ta có [tex]4.2y.x\leq (x+2y)^2=1[/tex]
[tex]=>4xy\leq \frac{(x+2y)^2}{2}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]=>\frac{1}{4xy}\geq 2[/tex]
Cộng lại là ra được nhé bạn
Dấu "=" bạn tự chỉ nhé

 

[lê thị hồng hà]

cảm ơn bạn nhá

Áp dụng bđt [tex]a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}[/tex]
[tex]x^2+4y^2\geq\frac{(x+2y)^2}{2}=\frac{1}{2}[/tex] (1)
Áp dụng bđt Cosi
[tex]x+2y\geq 2√2xy[/tex] [tex]\Leftrightarrow 1\geq 2√2xy[/tex]
Ta có:
[tex]\frac{1}{2xy}=\frac{x+2y}{2xy}=\frac{1}{2y}+\frac{1}{x}[/tex]
Áp dụng bđt Cosi
[tex]\frac{1}{2y}+\frac{1}{x}\geq 2√\frac{1}{2xy}[/tex]
Mà [tex] 1\geq 2√2xy[/tex]
Nên [tex]\frac{1}{2y}+\frac{1}{x}\geq2[/tex] (2)
Ta cộng vế theo vế của (1) và (2)
S [tex]\geq \frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi x=2y
Suy ra x = 1/2 ; y = 1/4

 

[lê thị hồng hà]

Ta có :
[tex]\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+4y^2}=(\frac{1}{4xy}+\frac{1}{x^2+4y^2})+\frac{1}{4xy}[/tex]
Áp dụng BĐT [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}[/tex],ta có
[tex]\frac{1}{4xy}+\frac{1}{x^2+4y^2}\geq \frac{4}{x^2+4xy+4y^2}\geq \frac{4}{(x+2y^2)}=4[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy,ta có [tex]4.2y.x\leq (x+2y)^2=1[/tex]
[tex]=>4xy\leq \frac{(x+2y)^2}{2}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]=>\frac{1}{4xy}\geq 2[/tex]
Cộng lại là ra được nhé bạn
Dấu "=" bạn tự chỉ nhé

cảm ơn bạn