Toán 9 BĐT Cauchy

[Bắc Băng Dương]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với mọi [TEX]a, b, c \geq 0.CM[/TEX]
1. [TEX] (a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc[/TEX]

2. [TEX] (a+b)(ab+1) \geq 4ab[/TEX]

3. [TEX](a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geq 9abc[/TEX]

4. [TEX] ( a/b +1)(b/c +1)(c/a +1) \geq 8[/TEX]

5.[TEX]a^3b/c +a^3c/b +b^3c/a +b^3a/c+ c^3a/b +c^3b/a \geq 6abc[/TEX]

6.[TEX] a^2(1+b^2) + b^2(1+c^2) +c^2(1+a^2) \geq 6abc[/TEX]

7.Với [TEX]a+b+c \geq 1, a, b, c >0[/TEX].CM
[TEX]1/(a^2+2bc) +1/(b^2+2ac) + 1/(c^2+2ba) \geq 9[/TEX]

8.[TEX] 3a+2b+4c \geq căn ab +3 căn bc+5 căn ca.[/TEX]

[TEX]9. a^2b^2 +b^2c^2+c^2a^2 \geq abc(a+b+c)[/TEX]

[TEX]10. a^4 +b^4 +c^4 \geq abc(a+b+c)[/TEX]
Mọi người giúp em với ạ!? Em mới học nên không hiểu, em cảm ơn ạ!

 

[Hiền Nhi]

1, $$a+b\geq 2\sqrt{ab}$$
$$b+c\geq 2\sqrt{bc}$$
$$a+c\geq 2\sqrt{ac}$$
Nhân vế theo vế $$(a+b)(b+c)(a+c)\geq 8\sqrt{a^{2}b^{2}c^{2}}=8abc$$
2, Tương tự
3.$$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$$
$$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}$$
Nhân vế theo vế$$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9\sqrt[3]{a^{3}b^{3}c^{3}}=9abc$$
4,$$\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}\geq \frac{8abc}{abc}=8 (đpcm)$$

 

[Nguyễn Lê Thành Vinh]

Mik đang bận nên giúp bạn 4 câu dc thui nhé co j ace dđ sẽ vô giải típ hpoj bạn
1. Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số ta có : a+b >= $$2\sqrt{ab}$$(1)
tưng tự ta có $$b+c \geq 2\sqrt{bc}$$(2)
c+a$$\geq 2\sqrt{ca}$$(3)
Nhân 2 vế của 3 bdt trên ta dc : (a+b)(b+c)(c+a) $$\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^2.b^2.c^2}=8abc$$
2. (a+b)(ab+1) >= 4ab -> a^2b+a+b^a+b-4ab>=0 -> b(a-1)^2+a(b-1)^2>=0 luôn đúng vs mọi a;b -> dcpcm
4.( a/b +1)(b/c +1)(c/a +1)=(a+b)/b.(b+c)/c.(c+a)/a=((a+b).(b+c).(c+a))/abc lúc này tử số bằng kết quả ở bài 1 -> ((a+b).(b+c).(c+a))/abc >= 8abc/abc=8
10.Áp dụng Cauchy cho từng cặp ta có
a^4 + b^4 >= 2a^2b^2
b^4 + c^4 >= 2b^2c^2
a^4 + c^4 >= 2a^2c^2
--------------------------------------...
Cộng vế theo vế ta có:
=> 2a^4 + 2b^4 + 2c^4 >= 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2)
<=> a^4 + b^4 + c^4 >= a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 (1)
Áp dụng Cauchy lần nữa ta có:
a^2b^2 + b^2c^2 = b^2 (a^2 +c^2) >= b^2(2ac)
b^2c^2 + a^2c^2 = c^2 (b^2 + a^2) >= c^2(2ba)
a^2b^2 + a^2c^2 = a^2 (b^2 + c^2) >= a^2(2bc)
--------------------------------------...
Cộng vế theo vế ta có
=> 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) >= 2[b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc)]
<=> a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 >= b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc)
<=> ......................................>= abc ( b + c + a) (2)
từ (1) và (2) -> dcpcm

 

[Kuroko - chan]

Với mọi a, b, c >= 0.CM
1. (a+b)(b+c)(c+a) >= 8abc

2. (a+b)(ab+1) >= 4ab

3. (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) >= 9abc

4. ( a/b +1)(b/c +1)(c/a +1) >= 8

5.a^3b/c +a^3c/b +b^3c/a +b^3a/c+ c^3a/b +c^3b/a >=6abc

6. a^2(1+b^2) + b^2(1+c^2) +c^2(1+a^2) >=6abc

7.Với a+b+c >=1, a, b, c >0.CM
1/(a^2+2bc) +1/(b^2+2ac) + 1/(c^2+2ba) >= 9

8. 3a+2b+4c >=căn ab +3 căn bc+5 căn ca.

9. a^2b^2 +b^2c^2+c^2a^2 >= abc(a+b+c)

10. a^4 +b^4 +c^4 >=abc(a+b+c)
Mọi người giúp em với ạ!? Em mới học nên không hiểu, em cảm ơn ạ!

1, $$a+b\geq 2\sqrt{ab}$$
$$b+c\geq 2\sqrt{bc}$$
$$a+c\geq 2\sqrt{ac}$$
Nhân vế với vế $$(a+b)(b+c)(a+c)\geq 8\sqrt{a^{2}b^{2}c^{2}}=8abc$$
2, $$a+b\geq 2\sqrt{ab}$$
$$ab+1\geq 2\sqrt{ab}$$
Nhân vế với vế $$(a+b)(ab+1)\geq 4\sqrt{ab^{2}}=4ab$$
3.$$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$$
$$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}$$
Nhân vế theo vế$$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9\sqrt[3]{a^{3}b^{3}c^{3}}=9abc$$

 

[ng.htrang2004]

1. (a+b)(b+c)(c+a) >= 8abc

Ta có:
$$a+b\geq 2\sqrt{ab}$$
$$a+c\geq 2\sqrt{ac}$$
$$b+c\geq 2\sqrt{ac}$$
=> ...
(nhân 2 vế lại)

2. (a+b)(ab+1) >= 4ab

Tương tự câu trên

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) >= 9abc

$$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$$
$$a^2+b^2+c^2 \geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$$
=> ...

4. ( a/b +1)(b/c +1)(c/a +1) >= 8

$$\frac{a}{b}+1\geq 2\frac{a}{b}$$
$$\frac{a}{c}+1\geq 2\frac{a}{c}$$
$$\frac{b}{c}+1\geq 2\frac{b}{c}$$
=> ...

7.Với a+b+c >=1, a, b, c >0.CM
1/(a^2+2bc) +1/(b^2+2ac) + 1/(c^2+2ba) >= 9

Ta có BĐT sau (Bạn phải chứng minh nó ra)
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{9}{x+y+z}$$
Thay vào ta có:
$$\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2 + 2ab} \geq \frac{9}{(a^2+2bc)+(b^2+2ca)+(c^2+2ab)}=\frac{9}{(a+b+c)^2}$$
Do $$a+b+c \geq 1$$ nên $$\frac{9}{(a+b+c)^2} \geq 9$$

 

[Nguyễn Lê Thành Vinh]

Với mọi a, b, c >= 0.CM
1. (a+b)(b+c)(c+a) >= 8abc

2. (a+b)(ab+1) >= 4ab

3. (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) >= 9abc

4. ( a/b +1)(b/c +1)(c/a +1) >= 8

5.a^3b/c +a^3c/b +b^3c/a +b^3a/c+ c^3a/b +c^3b/a >=6abc

6. a^2(1+b^2) + b^2(1+c^2) +c^2(1+a^2) >=6abc

7.Với a+b+c >=1, a, b, c >0.CM
1/(a^2+2bc) +1/(b^2+2ac) + 1/(c^2+2ba) >= 9

8. 3a+2b+4c >=căn ab +3 căn bc+5 căn ca.

9. a^2b^2 +b^2c^2+c^2a^2 >= abc(a+b+c)

10. a^4 +b^4 +c^4 >=abc(a+b+c)
Mọi người giúp em với ạ!? Em mới học nên không hiểu, em cảm ơn ạ!

9. ta có a^2b^2+$$2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq 2abc(a+b+c)$$ b^2c^2 $$\geq 2\sqrt{a^2b^2.b^2c^2}=2ab^2c$$
b^2c^2+c^2a^2$$\geq 2\sqrt{b^2c^2.c^2a^2}=2abc^2$$
c^2a^2+a^2b^2$$2\sqrt{c^2a^2.a^2b^2}=2a^2bc$$
Cộng 2 về của 3 bdt trên ta dc
$$2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq 2abc(a+b+c)$$
Rút gọn mỗi vế cho 2 dc dcpcm
7.

 

[ng.htrang2004]

9. a^2b^2 +b^2c^2+c^2a^2 >= abc(a+b+c)

Ta có:
$$a^4+a^4+b^4+c^4 \ge 4a^2bc$$
$$b^4+b^4+c^4+a^4 \ge 4ab^2c$$
$$c^4+c^4+a^4+b^4 \ge 4abc^2$$
Cộng vế theo vế lại ...

 

[Nguyễn Lê Thành Vinh]

Ta có:
$$a^4+a^4+b^4+c^4 \ge 4a^2bc$$
$$b^4+b^4+c^4+a^4 \ge 4ab^2c$$
$$c^4+c^4+a^4+b^4 \ge 4abc^2$$
Cộng vế theo vế lại ...

bạn ơi bạn làm sai rồi nếu có 4 hạng tử sẽ là căn bậc 4 chứ ko phải căn 2 đâu

 

[ng.htrang2004]

bạn ơi bạn làm sai rồi nếu có 4 hạng tử sẽ là căn bậc 4 chứ ko phải căn 2 đâu

Yes, nhầm rồi ... cứ nghĩ nó dễ thế ...

 

[baogiang0304]

bạn ơi bạn làm sai rồi nếu có 4 hạng tử sẽ là căn bậc 4 chứ ko phải căn 2 đâu

Ơ vẫn đúng mà $$a^{4}+a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq 4.\sqrt[4]{a^{4}.a^{4}.b^{4}.c^{4}}=4a.a.b.c=4a^{2}bc$$

 

[Nguyễn Lê Thành Vinh]

Ơ vẫn đúng mà $$a^{4}+a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq 4.\sqrt[4]{a^{4}.a^{4}.b^{4}.c^{4}}=4a.a.b.c=4a^{2}bc$$

chết, em bảo lộn @@ ý em là sai cái đề !!

 

[jensencauchyschwarz@gmail.com]

Ta có:
$$a+b\geq 2\sqrt{ab}$$
$$a+c\geq 2\sqrt{ac}$$
$$b+c\geq 2\sqrt{ac}$$
=> ...
(nhân 2 vế lại)

Tương tự câu trên

$$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$$
$$a^2+b^2+c^2 \geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$$
=> ...

$$\frac{a}{b}+1\geq 2\frac{a}{b}$$
$$\frac{a}{c}+1\geq 2\frac{a}{c}$$
$$\frac{b}{c}+1\geq 2\frac{b}{c}$$
=> ...

Ta có BĐT sau (Bạn phải chứng minh nó ra)
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{9}{x+y+z}$$
Thay vào ta có:
$$\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2 + 2ab} \geq \frac{9}{(a^2+2bc)+(b^2+2ca)+(c^2+2ab)}=\frac{9}{(a+b+c)^2}$$
Do $$a+b+c \geq 1$$ nên $$\frac{9}{(a+b+c)^2} \geq 9$$

Ta có:
$$a+b\geq 2\sqrt{ab}$$
$$a+c\geq 2\sqrt{ac}$$
$$b+c\geq 2\sqrt{ac}$$
=> ...
(nhân 2 vế lại)

Tương tự câu trên

$$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$$
$$a^2+b^2+c^2 \geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$$
=> ...

$$\frac{a}{b}+1\geq 2\frac{a}{b}$$
$$\frac{a}{c}+1\geq 2\frac{a}{c}$$
$$\frac{b}{c}+1\geq 2\frac{b}{c}$$
=> ...

Ta có BĐT sau (Bạn phải chứng minh nó ra)
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{9}{x+y+z}$$
Thay vào ta có:
$$\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2 + 2ab} \geq \frac{9}{(a^2+2bc)+(b^2+2ca)+(c^2+2ab)}=\frac{9}{(a+b+c)^2}$$
Do $$a+b+c \geq 1$$ nên $$\frac{9}{(a+b+c)^2} \geq 9$$

Với mọi [TEX]a, b, c \geq 0.CM[/TEX]
1. [TEX] (a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc[/TEX]

2. [TEX] (a+b)(ab+1) \geq 4ab[/TEX]

3. [TEX](a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geq 9abc[/TEX]

4. [TEX] ( a/b +1)(b/c +1)(c/a +1) \geq 8[/TEX]

5.[TEX]a^3b/c +a^3c/b +b^3c/a +b^3a/c+ c^3a/b +c^3b/a \geq 6abc[/TEX]

6.[TEX] a^2(1+b^2) + b^2(1+c^2) +c^2(1+a^2) \geq 6abc[/TEX]

7.Với [TEX]a+b+c \geq 1, a, b, c >0[/TEX].CM
[TEX]1/(a^2+2bc) +1/(b^2+2ac) + 1/(c^2+2ba) \geq 9[/TEX]

8.[TEX] 3a+2b+4c \geq căn ab +3 căn bc+5 căn ca.[/TEX]

[TEX]9. a^2b^2 +b^2c^2+c^2a^2 \geq abc(a+b+c)[/TEX]

[TEX]10. a^4 +b^4 +c^4 \geq abc(a+b+c)[/TEX]
Mọi người giúp em với ạ!? Em mới học nên không hiểu, em cảm ơn ạ!

Hình nhứ bđt số 7 bị sai rồi thì phải???

 

[baogiang0304]

Đúng rồi đó @jensencauchyschwarz@gmail.com
Nếu $$a+b+c\geq 1$$ thì phải là $$\frac{9}{(a+b+c)^{2}}\leq 9$$ chứ!

 

[Tú Vy Nguyễn]

Với mọi [TEX]a, b, c \geq 0.CM[/TEX]
1. [TEX] (a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc[/TEX]

2. [TEX] (a+b)(ab+1) \geq 4ab[/TEX]

3. [TEX](a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geq 9abc[/TEX]

4. [TEX] ( a/b +1)(b/c +1)(c/a +1) \geq 8[/TEX]

5.[TEX]a^3b/c +a^3c/b +b^3c/a +b^3a/c+ c^3a/b +c^3b/a \geq 6abc[/TEX]

6.[TEX] a^2(1+b^2) + b^2(1+c^2) +c^2(1+a^2) \geq 6abc[/TEX]

7.Với [TEX]a+b+c \geq 1, a, b, c >0[/TEX].CM
[TEX]1/(a^2+2bc) +1/(b^2+2ac) + 1/(c^2+2ba) \geq 9[/TEX]

8.[TEX] 3a+2b+4c \geq căn ab +3 căn bc+5 căn ca.[/TEX]

[TEX]9. a^2b^2 +b^2c^2+c^2a^2 \geq abc(a+b+c)[/TEX]

[TEX]10. a^4 +b^4 +c^4 \geq abc(a+b+c)[/TEX]
Mọi người giúp em với ạ!? Em mới học nên không hiểu, em cảm ơn ạ!

Đa số mình thấy các bạn không giải dấu bằng nhỉ nếu không giải dấu bằng một số bài có điều kiện có thể sai
điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đặng thức cô si là a=b=c=... nhé
dù không yêu cầu các bạn phải giải dấu bằng ra nữa
còn bất đẳng thức cô si cho 3 số dương phải chứng minh nếu trong thi cử

 

[lengoctutb]

Với mọi [TEX]a, b, c \geq 0.CM[/TEX]
1. [TEX] (a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc[/TEX]

Áp dụng BĐT $Cauchy$$,$ta có$:$$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8\sqrt{(abc)^{2}}=8abc$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Với mọi [TEX]a, b, c \geq 0.CM[/TEX]
2. [TEX] (a+b)(ab+1) \geq 4ab[/TEX]

Áp dụng BĐT $Cauchy$$,$ta có$:$$(a+b)(ab+1) \geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}=4\sqrt{(ab)^{2}}=4ab$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1$

Với mọi [TEX]a, b, c \geq 0.CM[/TEX]
3. [TEX](a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geq 9abc[/TEX]

Áp dụng BĐT $Cauchy$$,$ta có$:$$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{(abc)^{2}}=9\sqrt[3]{(abc)^{3}}=9abc$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Với mọi [TEX]a, b, c \geq 0.CM[/TEX]
4. [TEX] ( a/b +1)(b/c +1)(c/a +1) \geq 8[/TEX]

Áp dụng BĐT $Cauchy$$,$ta có$:$$(\frac{a}{b}+1)(\frac{b}{c}+1)(\frac{c}{a}+1) \geq 2\sqrt{\frac{a}{b}}.2\sqrt{\frac{b}{c}}.2\sqrt{\frac{c}{a}}=8\sqrt{\frac{abc}{abc}}=8.1=8$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Với mọi [TEX]a, b, c \geq 0.CM[/TEX]
5.[TEX]a^3b/c +a^3c/b +b^3c/a +b^3a/c+ c^3a/b +c^3b/a \geq 6abc[/TEX]

Áp dụng BĐT $Cauchy$$,$ta có$:$$\frac{a^{3}b}{c}+ \frac{a^{3}c}{b}+\frac{b^{3}a}{c} + \frac{b^{3}c}{a}+ \frac{c^{3}b}{a}+ \frac{c^{3}a}{b} \geq 6\sqrt[6]{\frac{(abc)^{7}}{abc}}=6\sqrt[6]{(abc)^{6}}=6abc$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Với mọi [TEX]a, b, c \geq 0.CM[/TEX]
6.[TEX] a^2(1+b^2) + b^2(1+c^2) +c^2(1+a^2) \geq 6abc[/TEX]

Ta có $:$ $a^{2}(1+b^{2}) + b^{2}(1+c^{2}) +c^{2}(1+a^{2})=a^{2}+a^{2}b^{2}+ b^{2}+b^{2}c^{2}+ c^{2}+c^{2}a^{2}$
Áp dụng BĐT $Cauchy$$,$ta có$:$$a^{2}+a^{2}b^{2}+ b^{2}+b^{2}c^{2}+ c^{2}+c^{2}a^{2} \geq 6\sqrt[6]{(abc)^{6}}=6abc$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Với mọi [TEX]a, b, c \geq 0.CM[/TEX]
7.Với [TEX]a+b+c \geq 1, a, b, c >0[/TEX].CM
[TEX]1/(a^2+2bc) +1/(b^2+2ac) + 1/(c^2+2ba) \geq 9[/TEX]

Đề sai nha bạn $!$ Ví dụ $:$ Lấy $a=b=c=1$ $($thỏa mãn điều kiện$)$ thì $:$ $\frac{1}{a^{2}+2bc}+ \frac{1}{b^{2}+2ca}+ \frac{1}{c^{2}+2ab}=1<9$

Với mọi [TEX]a, b, c \geq 0.CM[/TEX]
8.[TEX] 3a+2b+4c \geq căn ab +3 căn bc+5 căn ca.[/TEX]

Ta có $:$ $3a+2b+4c=(a+b+c)+(b+c)+(2a+2c)=(\sqrt{a}^{2}+\sqrt{b}^{2}+\sqrt{c}^{2})+(b+c)+(2a+2c)$
Sử dụng BĐT $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq ab+bc+ca$ và BĐT $Cauchy$$,$ta có$:$
$(\sqrt{a}^{2}+\sqrt{b}^{2}+\sqrt{c}^{2})+(b+c)+(2a+2c) \geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+2\sqrt{bc}+4\sqrt{ca}=\sqrt{ab}+3\sqrt{bc}+5\sqrt{ca}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Với mọi [TEX]a, b, c \geq 0.CM[/TEX]
[TEX]9. a^2b^2 +b^2c^2+c^2a^2 \geq abc(a+b+c)[/TEX]

Sử dụng BĐT $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq ab+bc+ca$$,$ta có$:$$a^{2}b^{2} +b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} \geq abbc+bcca+caab=ab^{2}c+abc^{2}+a^{2}bc=abc(a+b+c)$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Với mọi [TEX]a, b, c \geq 0.CM[/TEX]
[TEX]10. a^4 +b^4 +c^4 \geq abc(a+b+c)[/TEX]

Sử dụng BĐT $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq ab+bc+ca$ và câu $9.$$,$ta có$:$$a^{4} +b^{4}+c^{4} \geq a^{2}b^{2} +b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} \geq abc(a+b+c)$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

 

[hdiemht]

5.a3b/c+a3c/b+b3c/a+b3a/c+c3a/b+c3b/a≥6abc

$$..\Leftrightarrow (\frac{a^3b}{c}+\frac{c^3b}{a})+(\frac{a^3c}{b}+\frac{b^3c}{a})+(\frac{b^3a}{c}+\frac{c^3a}{b})\geq 2abc+2abc+2abc=6abc$$
Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c$

8.3a+2b+4c≥cănab+3cănbc+5cănca. 3a+2b+4c \geq căn ab +3 căn bc+5 căn ca.

$$3a+2b+4c\geq \sqrt{ab}+3\sqrt{bc}+5\sqrt{ac}\Leftrightarrow 6a+4b+8c\geq 2\sqrt{ab}+6\sqrt{bc}+10\sqrt{ac}\Leftrightarrow 6a+4b+8c-2\sqrt{ab}-6\sqrt{bc}-10\sqrt{ac}\geq 0\Leftrightarrow (a-2\sqrt{ab}+b)+3(b-2\sqrt{bc}+c)+5(c-2\sqrt{ac}+c)\geq 0\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+3(\sqrt{a}-\sqrt{c})^2+5(\sqrt{a}-\sqrt{c})^2\geq 0$$
Dấu ''='' xảy ra khi: a=b=c

.a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c)

$$a^2b^2+b^2c^2\geq 2ab^2c; b^2c^2+a^2c^2\geq 2abc^2;a^2b^2+a^2c^2\geq 2a^2bc$$
Cộng lại ta đc đpcm
Dấu ''='' khi: $a=b=c$

a4+b4+c4≥abc(a+b+c)

$$a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\geq abc(a+b+c)$$
Dấu ''='' xảy ra khi: $a=b=c$