BĐT - Bí - ing 2

[dinhhaivnn1994]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực không âm
C/mR: $$\frac{a^2}{b}$$+$$\frac{b^2}{c}$$+$$\frac{c^2}{a}$$+a+b+c \geq $$\frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$$

 

[dinhhaivnn1994]

làm cả ngày mà không để ý @@ vừa làm xong bài này nên trình bày luôn cho moi người tham khảo luôn
BĐT <=>(a+b+c)VT \geq 6($$a^2+b^2+c^2$$)
Nhân phân phối vào và thu gọn ta được :
$$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+\frac{ab^2}{c}+\frac{bc^2}{a}+\frac{ca^2}{b} + 2ab + 2bc + 2ca \geq 4(a^2+b^2+c^2)$$
để ý $$\frac{a^3}{b}+\frac{bc^2}{a}+2ca = \frac{(a^2+bc)^2}{ab}$$
áp dụng BĐT CS ta có $$\sum\frac{(a^2+bc)^2}{ab} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca}$$
vậy ta chỉ cần chứng minh
$$(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2 \geq 4(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)$$ đúng theo AM-GM