Bdt 10

V

vuive_yeudoi

Trước hết để ý thấy
$$ a^2+1=a^2+ab+bc+ca=\left( a+b \right) \cdot \left( a+c \right) $$
Vậy bất đẳng thức để bài có thể viết thành
$$ \sum \frac{a}{\sqrt{\left( a+b \right) \cdot \left( a+c \right)}} \le \frac{3}{2}$$
Theo Cauchy Schwarz có
$$ \left( \sum \frac{a}{\sqrt{\left( a+b \right) \cdot \left( a+c \right)}} \right)^2 \le \left( \sum \frac{a}{a+b} \right) \cdot \left( \sum \frac{a}{a+c} \right) $$
Cần chứng minh
$$ \left( \sum \frac{a}{a+b} \right) \cdot \left( \sum \frac{a}{a+c} \right) \le \frac{9}{4} $$
Điều này hiển nhiên đúng bởi
$$ \frac{9}{4} - \left( \sum \frac{a}{a+b} \right) \cdot \left( \sum \frac{a}{a+c} \right) =\frac{ \left( a-b \right)^2 \cdot \left( b-c \right)^2 \cdot \left( c-a \right)^2}{ 4 \cdot \left( a+b \right)^2 \cdot \left( b+c \right)^2 \cdot \left( c+a \right)^2} \ge 0 $$
Kết thúc chứng minh .
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom