Toán BDDT tổng hợp

Hạnh Hạnh Alison

Học sinh
Thành viên
12 Tháng sáu 2017
117
35
21
Vĩnh Phúc
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho 3<=a,b,c<=5.CMR
[tex]\sqrt{ab+1}+\sqrt{bc+1}+\sqrt{ca+1} > a+b+c[/tex]
Bài 2: Cho a,b>0, a+b=1.CMR [tex]\frac{1}{a^{4}+b^{4}}+\frac{2}{a^{2}b^{2}}\geq 40[/tex]
Bài 3: Cho a,b,c >0 .CMR[tex]\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}+\frac{9(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 12[/tex]
Bài 4: Cho a,b,c > 25/4. Tìm Min P= [tex]\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+\frac{c}{2\sqrt{a}-5}[/tex]
@Tony Time @bonechimte@gmail.com @Quân Nguyễn 209
 

kingsman(lht 2k2)

Mùa hè Hóa học|Ngày hè tuyệt diệu
Thành viên
TV BQT tích cực 2017
[QUOTE
Bài 3: Cho a,b,c >0 .CMR[tex]\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}+\frac{9(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 12[/tex]

câu 3 max dễ anh quất luôn nhé:
cứ áp dụng công thức ;
a+b+c[tex]\geq \sqrt[3]{abc}[/tex]
rồi ta biểu thức
[tex]\frac{3abc}{abc}+\frac{9*3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}}{3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}}\sum 3+9>=12(đ)[/tex]
 

Hạnh Hạnh Alison

Học sinh
Thành viên
12 Tháng sáu 2017
117
35
21
Vĩnh Phúc
bÀI 5: cHO A,B,C LÀ 3 CẠNH TAM GIÁC. cmr
[tex]\sqrt{abc}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}[/tex]
Bài 6: Cho a,b,c >0 và a+b+c=2016
CMR [tex]\sum \sqrt{4032a+\frac{(b-c)^{2}}{2}}\leq 2012\sqrt{2}[/tex]
 

kingsman(lht 2k2)

Mùa hè Hóa học|Ngày hè tuyệt diệu
Thành viên
TV BQT tích cực 2017

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
20
Đắk Nông
Bài 1: Cho 3<=a,b,c<=5.CMR
[tex]\sqrt{ab+1}+\sqrt{bc+1}+\sqrt{ca+1} > a+b+c[/tex]
Bài 2: Cho a,b>0, a+b=1.CMR [tex]\frac{1}{a^{4}+b^{4}}+\frac{2}{a^{2}b^{2}}\geq 40[/tex]
Bài 3: Cho a,b,c >0 .CMR[tex]\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}+\frac{9(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 12[/tex]
Bài 4: Cho a,b,c > 25/4. Tìm Min P= [tex]\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+\frac{c}{2\sqrt{a}-5}[/tex]
@Tony Time @bonechimte@gmail.com @Quân Nguyễn 209
Bài 3:
Đặt $a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r$
Chuẩn hóa $p=1$(Tức là đặt ẩn $a=\dfrac{x}{x+y+z},b=\dfrac{y}{x+y+z},c=....$
Khi đó dễ dàng biến đổi dpcm của đề bài thành:
$\dfrac{1-3q+3r}{r}+\dfrac{9q}{1-2q} \geq 12
\\\Rightarrow \dfrac{1-3q}{r}+\dfrac{9q}{1-2q} \geq 9$
Mặt khác dễ dàng chứng minh $q^2 \geq 3pr=3r \Rightarrow r \leq \dfrac{q^2}{3}$
Thay vào dpcm:
$\dfrac{3(1-3q)}{q^2}+\dfrac{9q}{1-2q} \geq 9 \\\Rightarrow \dfrac{3(3q-1)^2(q+1)}{q^2(1-2q)} \geq 0$
Điềy này hiển toàn đúng do $q \leq \dfrac{p^2}{3}=\dfrac{1}{3}$
Bài 2:
$\dfrac{1}{a^4+b^4}+\dfrac{1}{2a^2b^2}+\dfrac{3}{2a^2b^2}
\\\geq \dfrac{4}{(a^2+b^2)^2}+\dfrac{3}{2a^2b^2}
\\\geq (\dfrac{4}{(a^2+b^2)^2}+16)+(\dfrac{3}{{2a^2b^2}}+24)
\\\geq \dfrac{16}{a^2+b^2}+\dfrac{12}{ab}
\\=(\dfrac{16}{a^2+b^2}+\dfrac{16}{2ab})+\dfrac{4}{ab}$
Bài 4:
$\dfrac{a}{2\sqrt{b}-5}+(2\sqrt{b}-5) \geq 2\sqrt{a}$
Rồi làm tương tự cộng vế theo vế sẽ tìm đc min(Min là $15$)
Bài 5:
Quy đồng đưa dpcm về:
$ab+bc+ca \geq \sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$
Áp dụng AM-GM:
$ab+ac \geq 2a\sqrt{bc}$
Làm tương tự cộng bế theo vế có dpcm
Bài 6:
Xem lại đề nhé phải là $a,b,c \geq 0$ mới đúng.(Bài này làm cả chục lần gồi)
$\sqrt{4032a+\dfrac{(b-c)^2}{2}}
\\=\sqrt{\dfrac{4(a+b+c)a+(b-c)^2}{2}}
\\=\sqrt{\dfrac{(2a+b+c)^2-4bc}{2}} \leq \sqrt{\dfrac{(2a+b+c)^2}{2}}=....$
 

Hạnh Hạnh Alison

Học sinh
Thành viên
12 Tháng sáu 2017
117
35
21
Vĩnh Phúc
Bài 3:
Đặt $a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r$
Chuẩn hóa $p=1$(Tức là đặt ẩn $a=\dfrac{x}{x+y+z},b=\dfrac{y}{x+y+z},c=....$
Khi đó dễ dàng biến đổi dpcm của đề bài thành:
$\dfrac{1-3q+3r}{r}+\dfrac{9q}{1-2q} \geq 12
\\\Rightarrow \dfrac{1-3q}{r}+\dfrac{9q}{1-2q} \geq 9$
Mặt khác dễ dàng chứng minh $q^2 \geq 3pr=3r \Rightarrow r \leq \dfrac{q^2}{3}$
Thay vào dpcm:
$\dfrac{3(1-3q)}{q^2}+\dfrac{9q}{1-2q} \geq 9 \\\Rightarrow \dfrac{3(3q-1)^2(q+1)}{q^2(1-2q)} \geq 0$
Điềy này hiển toàn đúng do $q \leq \dfrac{p^2}{3}=\dfrac{1}{3}$
Bài 2:
$\dfrac{1}{a^4+b^4}+\dfrac{1}{2a^2b^2}+\dfrac{3}{2a^2b^2}
\\\geq \dfrac{4}{(a^2+b^2)^2}+\dfrac{3}{2a^2b^2}
\\\geq (\dfrac{4}{(a^2+b^2)^2}+16)+(\dfrac{3}{{2a^2b^2}}+24)
\\\geq \dfrac{16}{a^2+b^2}+\dfrac{12}{ab}
\\=(\dfrac{16}{a^2+b^2}+\dfrac{16}{2ab})+\dfrac{4}{ab}$
Bài 4:
$\dfrac{a}{2\sqrt{b}-5}+(2\sqrt{b}-5) \geq 2\sqrt{a}$
Rồi làm tương tự cộng vế theo vế sẽ tìm đc min(Min là $15$)
Bài 5:
Quy đồng đưa dpcm về:
$ab+bc+ca \geq \sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$
Áp dụng AM-GM:
$ab+ac \geq 2a\sqrt{bc}$
Làm tương tự cộng bế theo vế có dpcm
Bài 6:
Xem lại đề nhé phải là $a,b,c \geq 0$ mới đúng.(Bài này làm cả chục lần gồi)
$\sqrt{4032a+\dfrac{(b-c)^2}{2}}
\\=\sqrt{\dfrac{4(a+b+c)a+(b-c)^2}{2}}
\\=\sqrt{\dfrac{(2a+b+c)^2-4bc}{2}} \leq \sqrt{\dfrac{(2a+b+c)^2}{2}}=....$
E k hiểu chỗ chuẩn hóa lắm!!!
 

Quân Nguyễn 209

Học sinh chăm học
Thành viên
8 Tháng sáu 2017
356
335
86
TP Hồ Chí Minh
Blank
Nhưng sao tự nhiên lại đặt thế ja
Bài 3:
Đặt $a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r$
Chuẩn hóa $p=1$(Tức là đặt ẩn $a=\dfrac{x}{x+y+z},b=\dfrac{y}{x+y+z},c=....$
Hình như nhờ kinh nghiệm nhỉ. Cái phương pháp đổi biến p,q,r này có vẻ là cách làm cố định phải ko vậy bác @Nguyễn Xuân Hiếu :v Lượn qua VMF thấy có người nói về cái này mà đọc khó hiểu vl -_- Nhất là vụ chuẩn hóa :v
 

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
20
Đắk Nông
@Hạnh Hạnh Alison mình nghĩ bạn nên nghiên cứu sâu về các bài tập AM-GM trước đã :v Thực ra nhưng bài ở trên hầu như là các bài khó :V. Bạn có thể lên mạng kiếm các đề khác làm trước những bài này nên để lại
 
Top Bottom