Nhận thấy để [imath]f(x) \geq 0 \forall x \in [-1,+\infty)[/imath] thì [imath]m+1 \geq 0[/imath].
Thật vậy, giả sử [imath]m+1<0[/imath].
[imath]f(x) \geq 0 \Leftrightarrow (m+1)x^2+(m^2-5m-4)x-3m^2+6m+19 \geq 8\sqrt{x+1}[/imath]
Cho [imath]x[/imath] càng lớn thì [imath]VT[/imath] sẽ dần tiến tới [imath]-\infty[/imath], còn [imath]VT \geq 0[/imath] nên không thỏa mãn.
Từ đó [imath]m+1 \geq 0[/imath].
Xét [imath]m>-1[/imath].
[imath]f(x)=16-8\sqrt{x+1}+(m+1)x^2+(m^2-5m-4)x-3m^2+6m+3=8\cdot \dfrac{3-x}{\sqrt{x+1}+2}+(x-3)[(m+1)x+m^2-2m-1][/imath]
[imath]=(x-3)[(m+1)x+m^2-2m-1-\dfrac{8}{\sqrt{x+1}+2}][/imath]
Nhận thấy để [imath]f(x) \geq 0 \forall x \geq -1[/imath] thì [imath](m+1)x+m^2-2m-1-\dfrac{8}{\sqrt{x+1}+2}=0[/imath] phải có nghiệm [imath]x=3[/imath].
[imath]\Leftrightarrow 3(m+1)+m^2-2m-1-2=0 \Leftrightarrow m^2+m=0 \Leftrightarrow m=0 \vee m=-1[/imath].
Xét trường hợp [imath]m=-1[/imath]. Khi đó [imath]f(x)=2x-8\sqrt{x+1}+1=2(x+1)-8\sqrt{x+1}+9[/imath].
Đặt [imath]t=\sqrt{x+1}[/imath] thì [imath]t \geq 0[/imath].
[imath]f(x)=g(t)=2t^2-8t+9=2(t-2)^2+1>0[/imath].
Vậy [imath]m=-1[/imath] thỏa mãn.
Xét trường hợp [imath]m=0[/imath]. Khi đó [imath]f(x)=x^2-4x-8\sqrt{x+1}+19=x^2-6x+9+2(x+1)-8\sqrt{x+1}+8=(x-3)^2+2(\sqrt{x+1}-2)^2 \geq 0[/imath](thỏa mãn)
Vậy [imath]m \in \lbrace{0,-1 \rbrace}[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Bất đẳng thức. Bất phương trình
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
