Toán 8 Bất đẳng thức

[Andrea Valerie]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn abc > 1
Chứng minh a^2/b-1 + b^2/c-1 + c^2/a-1 >= 12
Mọi người giúp em ạ

 

[c3lttrong.0a1.nhphat]

1. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn abc > 1
Chứng minh a^2/b-1 + b^2/c-1 + c^2/a-1 >= 12
Mọi người giúp em ạ

Andrea Valerieđề hình như sai sai a , b, c >1 mới đúng chứ nhỉ ?
[imath]a,b,c >1 \Leftrightarrow a+b+c >3[/imath]
Theo BĐT Cauchy-swachz , ta có:
[imath]\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{c-1}+\dfrac{c^2}{a-1}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c-3}[/imath]
Do đó ta chỉ cần chứng minh
[imath]\dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c-3} \geq 12[/imath] nữa là bài toán sẽ hoàn thành
Thật vậy
[imath]\dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c-3} \geq 12 \Leftrightarrow (a+b+c)^2-12(a+b+c)+36 \geq0 \Leftrightarrow (a+b+c-6)^2 \geq 0[/imath] (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2

 

[Andrea Valerie]

đề hình như sai sai a , b, c >1 mới đúng chứ nhỉ ?
[imath]a,b,c >1 \Leftrightarrow a+b+c >3[/imath]
Theo BĐT Cauchy-swachz , ta có:
[imath]\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{c-1}+\dfrac{c^2}{a-1}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c-3}[/imath]
Do đó ta chỉ cần chứng minh
[imath]\dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c-3} \geq 12[/imath] nữa là bài toán sẽ hoàn thành
Thật vậy
[imath]\dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c-3} \geq 12 \Leftrightarrow (a+b+c)^2-12(a+b+c)+36 \geq0 \Leftrightarrow (a+b+c-6)^2 \geq 0[/imath] (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2

c3lttrong.0a1.nhphatEm cũng không biết nữa nhưng đề nó vậy đó ạ. Dù sao em cũng cảm ơn

 

[Lê.T.Hà]

[imath]a=1/2;b=2;c=10[/imath] thỏa abc>1 nhưng vế trái âm