Toán 10 Bất đẳng thức

[Minh Tiến pro]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực không âm x;y;z thỏa mãn [imath]xy+yz+zx=3[/imath]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
[imath]P=\dfrac{x}{x^2+x+2}+\dfrac{y}{y^2+y+2}+\dfrac{z}{z^2+z+2}[/imath]
Giúp em với ạ, em cảm ơn

 

[c3lttrong.0a1.nhphat]

Cho các số thực không âm x;y;z thỏa mãn [imath]xy+yz+zx=3[/imath]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
[imath]P=\dfrac{x}{x^2+x+2}+\dfrac{y}{y^2+y+2}+\dfrac{z}{z^2+z+2}[/imath]
Giúp em với ạ, em cảm ơn

Minh Tiến proTa có : [imath]3\sqrt[3]{(xyz)^2} \leq xy+yz+zx \leq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}[/imath]

[imath]\Rightarrow \begin{cases} xyz \leq 1\\ x+y+z \geq 3=xy+yz+zx \end{cases}[/imath]

Theo BĐT Cauchy-Swachz , ta có
[imath]P \leq \sum \dfrac{x}{4(x^2+1)}+\sum \dfrac{x}{4(x+1)}[/imath]

[imath]\sum \dfrac{x}{4(x^2+1)}=\dfrac{x}{4(x^2+1)}+\dfrac{y}{4(y^2+1)}+\dfrac{z}{4(z^2+1)} \leq \dfrac{x}{4.2\sqrt{x^2.1}}+\dfrac{y}{4.2\sqrt{y^2.1}}+\dfrac{z}{4.2\sqrt{z^2.1}}=\dfrac{3}{8}[/imath] (1)

[imath]2.\sum \dfrac{x}{(x+1)}=\dfrac{6xyz+4(xy+yz+zx)+2(x+y+z)}{xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1}\leq \dfrac{3(xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1)}{xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1}=3[/imath]

[imath]\Leftrightarrow \sum \dfrac{x}{4(x+1)} \leq \dfrac{3}{8}[/imath] (2)

Từ (1) và (2) ta có :
[imath]P \leq \dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{8}= \dfrac{3}{4}[/imath]

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1