Cho [imath]a,b,c> 0 ;abc=1[/imath]. Tìm giá trị lớn nhất của:
[imath]\dfrac{a}{a^2+5}+\dfrac{b}{b^2+5}+\dfrac{c}{c^2+5}[/imath]
LucynaKhông mất tính tổng quát, giả sử: [imath]c=min[/imath]
TH1: [imath]c < \dfrac{1}{5}[/imath]
Do đó [imath]VT \le \dfrac{a}{2\sqrt{5a^2}}+ \dfrac{b}{2\sqrt{5b^2}}+ \dfrac{c}{5} <\dfrac{1}{2}[/imath]
TH2: [imath]c \ge \dfrac{1}{5}[/imath] -> [imath]ab \le 5[/imath]
Đặt [imath]f(a,b,c)=VT-\dfrac{1}{2}[/imath]
Trước hết chứng minh [imath]f(a,b,c) \le f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)[/imath] tương đương [imath]\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^2\left ( 10\sqrt{ab}(a+b)+10ab-25-a^2b^2 \right )\geq 0[/imath]
Đúng do [imath]25+a^2b^2 \le 25+5ab \le 30ab \le 10\sqrt{ab}(a+b)+10ab[/imath]
Đặt [imath]\sqrt{ab}=x[/imath] . Ta đi chứng minh [imath]f(x,x,\dfrac{1}{x^2} ) \le 0[/imath] tương đương [imath]\left (x-1 \right )^2\left ( 5x^4-10x^3-2x^2+6x+5 \right )\geq 0[/imath]
Đúng vì [imath]5x^4-10x^3-2x^2+6x+5=5(x-1)^4+10x^3+26x-32x^2 \le 10x^3+26x-32x^2 >0[/imath]
Vậy [imath]VT \le \dfrac{1}{2}[/imath]
Chúc bạn học tốt
Ngoài ra, bạn xem thêm tại
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
