Toán 9 Bất đẳng thức

[cuduckien]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực dương tm:

. Tìm Min:

 

[7 1 2 5]

Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có: [imath](a+b)(a+c) \geq (\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}+\sqrt{b} \cdot \sqrt{c})^2=(a+\sqrt{bc})^2[/imath]
[imath]\Rightarrow a+\sqrt{bc} \leq \sqrt{a^2+ab+bc+ca}[/imath]
Mặt khác ta lại có [imath]ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2=3[/imath]
[imath]\Rightarrow a+\sqrt{bc} \leq \sqrt{a^2+3}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{6a^2+10}{(a+\sqrt{bc})(a+1)} \geq \dfrac{6a^2+10}{(a+1)\sqrt{a^2+3}}[/imath]
Ta sẽ chứng minh [imath]\dfrac{6a^2+10}{(a+1)\sqrt{a^2+3}} \geq 4[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 3a^2+5 \geq 2(a+1)\sqrt{a^2+3}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (3a^2+5)^2 \geq 4(a+1)^2(a^2+3)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (a-1)^2(5a^2+2a+13) \geq 0[/imath](đúng)
Từ đó [imath]\dfrac{1}{b}\sqrt{\dfrac{6a^2+10}{(a+\sqrt{bc})(a+1)}} \geq \dfrac{1}{b} \cdot \sqrt{\dfrac{6a^2+10}{(a+1)\sqrt{a^2+3}}} \geq \dfrac{2}{b}[/imath]
[imath]\Rightarrow VT \geq 2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right) \geq \dfrac{18}{a+b+c}[/imath]
Mà [imath]a+b+c \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3 \Rightarrow VT \leq \dfrac{18}{3}=6[/imath] (đpcm)

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức