Biến đổi giả thiết thành [imath]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3[/imath]
Đặt [imath](x,y,z)=\left( \dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c} \right)[/imath] thì ta có [imath]x+y+z=3[/imath]
Từ đó [imath]T=\dfrac{\dfrac{1}{b}}{\dfrac{2}{a^2}+1}+\dfrac{\dfrac{1}{c}}{\dfrac{2}{b^2}+1}+\dfrac{\dfrac{1}{a}}{\dfrac{2}{c^2}+1}[/imath]
[imath]=\dfrac{y}{2x^2+1}+\dfrac{z}{2y^2+1}+\dfrac{x}{2z^2+1}[/imath]
Biến đổi [imath]\dfrac{y}{2x^2+1}=y\cdot \dfrac{1}{2x^2+1}=y\left( 1-\dfrac{2x^2}{2x^2+1} \right)[/imath]
[imath]=y-\dfrac{2x^2y}{2x^2+1}[/imath]
Áp dụng BĐT Cauchy ta có [imath]2x^2+1=x^2+x^2+1 \geq 3\sqrt[3]{x^4}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{y}{2x^2+1}=y-\dfrac{2x^2y}{2x^2+1} \geq y-\dfrac{2x^2y}{3\sqrt[3]{x^4}}=y-\dfrac{2}{3}\sqrt[3]{x^2y^3}[/imath]
Lại có: [imath]\sqrt[3]{x^2y^3}=\sqrt[3]{xy\cdot xy \cdot y} \leq \dfrac{xy+xy+y}{3}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{y}{2x^2+1} \geq y-\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2xy+y}{3}=\dfrac{7}{9}y-\dfrac{4}{9}xy[/imath]
Tương tự và cộng vế theo vế ta được [imath]T \geq \dfrac{7}{9}(x+y+z)-\dfrac{4}{9}(xy+yz+zx)=\dfrac{7}{3}-\dfrac{4}{9}(xy+yz+zx)[/imath]
Mặt khác ta lại có [imath]xy+yz+zx \leq \dfrac{(x+y+z)^2}{3}=3[/imath]
[imath]\Rightarrow T \geq \dfrac{7}{3}-\dfrac{4}{3}=1[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]a=b=c=1[/imath].
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
