Đặt [imath]k=\sqrt{3}-1[/imath]
Ta biến đổi như sau: [imath]\displaystyle \sum _{cyc} \dfrac{a}{b+c}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2} \displaystyle \sum _{cyc} \dfrac{2a-b-c}{b+c}[/imath]
[imath]=\dfrac{1}{2} \displaystyle \sum _{cyc} (\dfrac{a-b}{b+c}-\dfrac{c-a}{b+c})[/imath]
[imath]=\dfrac{1}{2} \displaystyle \sum _{cyc} (\dfrac{a-b}{b+c}-\dfrac{a-b}{a+c})[/imath]
[imath]=\dfrac{1}{2} \displaystyle \sum _{cyc} \dfrac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)}[/imath]
[imath]1-\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{1}{2} \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{a^2+b^2+c^2}[/imath]
Vậy nên ta viết lại bất đẳng thức như sau: [imath]\displaystyle \sum _{cyc} \dfrac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)} \geq k \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{a^2+b^2+c^2}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \displaystyle \sum _{cyc} \left[ (a-b)^2\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{(c+a)(c+b)}-k \right) \right] \geq 0[/imath]
Đặt [imath]\dfrac{a^2+b^2+c^2}{(a+b)(a+c)}-k=x, \dfrac{a^2+b^2+c^2}{(b+a)(b+c)}-k=y, \dfrac{a^2+b^2+c^2}{(c+a)(c+b)}-k=z[/imath]
Bất đẳng thức trên trở thành [imath]x(b-c)^2+y(c-a)^2+z(a-b)^2 \geq 0[/imath]
Không mất tính tổng quát, giả sử [imath]a \geq b \geq c[/imath]
Khi đó [imath]a+b \geq a+c \geq b+c[/imath] nên [imath](a+b)(a+c) \geq (a+b)(b+c) \geq (a+c)(b+c)[/imath]
[imath]\Rightarrow x \leq y \leq z[/imath]
Ta có [imath]x+y=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{(b+a)(b+c)}-2k[/imath]
[imath]=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)(2c+a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}-2k \geq \dfrac{\left(\dfrac{1}{2}(a+b)^2+c^2 \right)(2c+a+b)}{\dfrac{1}{4}(a+b)(2c+a+b)^2}-2k[/imath]
[imath]=\dfrac{2(a+b)^2+4c^2}{(a+b)(2c+a+b)}-2k[/imath]
Đặt [imath]t=\dfrac{a+b}{2},s=\dfrac{2(a+b)^2+4c^2}{(a+b)(2c+a+b)},\dfrac{t}{c}=r[/imath]
Ta có [imath]s=\dfrac{8t^2+4c^2}{2t(2c+2t)}=\dfrac{2t^2+c^2}{t(t+c)}=\dfrac{2 \cdot \left(\dfrac{t}{c} \right)^2+1}{\left(\dfrac{t}{c} \right)^2+\left(\dfrac{t}{c} \right)}[/imath]
[imath]\Rightarrow s=\dfrac{2r^2+1}{r^2+r}[/imath]
[imath]\Rightarrow 2r^2+1=sr^2+sr \Rightarrow (2-s)r^2-sr+1=0[/imath]
Để tồn tại [imath]r[/imath] thì [imath]\Delta =s^2-4(2-s)=s^2+4s-8 \geq 0 \Rightarrow s \geq 2k[/imath]
Vậy [imath]x+y \geq 0[/imath], suy ra [imath]y+z \geq 0[/imath]. Từ đó [imath]x(b-c)^2+y(c-a)^2+z(a-b)^2=x(b-c)^2+y[(b-c)+(a-b)]^2+z(a-b)^2[/imath]
[imath]=(b-c)^2(x+y)+2y(a-b)(b-c)+(y+z)(a-b)^2 \geq 0[/imath]
Bất đẳng thức được chứng minh.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
