Toán 10 Bất đẳng thức

[oanh6807]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mong mọi người giúp đỡ ạ

Cho [imath]a;b;c[/imath] là các số thực dương thỏa mãn: [imath]a + b + c = 3[/imath]
CMR:
[imath]\dfrac{bc}{\sqrt{a}+3}+\dfrac{ca}{\sqrt{b}+3}+\dfrac{ab}{\sqrt{c}+3} \leq \dfrac{3}{4}[/imath]

 

[Lucyna]

Xét [imath]f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}[/imath] trên [imath](0,3)[/imath]
Có [imath]f''(x)=\dfrac{-3(\sqrt{x}+1)}{4(\sqrt{x}+3)^3.\sqrt{x^3}}< 0[/imath]
Do đó [imath]f[/imath] là hàm lồi nên [imath]f(x) \le f'(1)(x-1)+f(1)[/imath]
[imath]\Rightarrow f(x)\leq \dfrac{x}{32}+\dfrac{7}{32}[/imath]

Do đó [imath]\dfrac{bc}{\sqrt{a}+3}\leq \dfrac{abc}{32}+\dfrac{7bc}{32}[/imath]
Chứng minh tương tự kết hợp [imath]\left\{\begin{matrix} abc\leq \left (\dfrac{a+b+c}{3} \right )^3=1\\ ab+bc+ca\leq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}=3 \end{matrix}\right.[/imath]

Ta được [imath]\dfrac{bc}{\sqrt{a}+3}+\dfrac{ca}{\sqrt{b}+3}+\dfrac{ab}{\sqrt{c}+3} \leq \dfrac{3}{4}[/imath]

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1