Áp dụng BĐT Cauchy ta có: [imath]\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \geq \dfrac{4}{a+b} \Rightarrow a+b \geq 4c[/imath]
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có: [imath]9(a^2+b^2+c^2)=(2^2+2^2+1^2)(a^2+b^2+c^2) \geq (2a+2b+2c)^2[/imath]
[imath]\Rightarrow 4\sqrt{a^2+b^2+c^2} \geq \dfrac{4}{3}(2a+2b+c)[/imath]
Mặt khác do [imath]2a+2b+c \geq \dfrac{9}{5}(a+b+c)[/imath] nên [imath]4\sqrt{a^2+b^2+c^2} \geq \dfrac{4}{3}(2a+2b+c) \geq \dfrac{12}{5}(a+b+c)[/imath]
[imath]\Rightarrow P \geq \dfrac{12}{5}(a+b+c)+\dfrac{1}{a+b+c} \geq 2\sqrt{\dfrac{12}{5}}=\dfrac{4\sqrt{15}}{5}[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]\begin{cases} a+b+c=\sqrt{\dfrac{12}{5}} \\ a=b=2c \end{cases} \Leftrightarrow ...[/imath]
Vậy [imath]\min P=\dfrac{4\sqrt{15}}{5}[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
