Trước hết ta chứng minh [imath]\dfrac{8}{9}(x+y+z)^2 \ge 2xy+3yz+3zx[/imath]
Thật vậy [imath]\Leftrightarrow 8x^2+8y^2+8z^2 \ge 2xy+11yz+11zx[/imath]
Có [imath]3=x^2+y^2+z^2\leq x^2+y^2+1\Rightarrow x^2+y^2 \ge 2[/imath]
[imath]\Rightarrow 2(x^2+y^2)-2(x+y)\geq (x-1)^2+(y-1)^2 \geq 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^2+y^2\geq x+y \ge z(x+y)[/imath]
[imath]\Rightarrow 8(x^2+y^2+z^2)\geq 3z(x+y)+x^2+y^2+4(x^2+y^2+2z^2)\geq 3z(x+y)+2xy+4(2xz+2yz)=2xy+11xz+11yz[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{8}{9}(x+y+z)^2 \ge 2xy+3yz+3zx[/imath]
Đặt [imath]x+y+z=t[/imath]
Có [imath]3=x^2+y^2+z^2\leq (x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)[/imath]
[imath]\Rightarrow \sqrt{3}\leq t\leq 3[/imath]
Khi đó [imath]P-10 \le \dfrac{8}{9}t^2+\dfrac{6}{t}-10=\dfrac{2(t-3)(4t^2+12t-9)}{9t}\leq 0[/imath]
Điều cuối hiển nhiên đúng do [imath]\sqrt{3}\leq t\leq 3[/imath] thì [imath]4t^2+12t-9 > 0[/imath] và [imath]t-3 \le 0[/imath]
Do đó [imath]P \le 10[/imath]
Đẳng thức xảy ra khi [imath]x=y=z=1[/imath]
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
