Toán 9 Bất đẳng thức

[Lucyna]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [imath]n[/imath] số thực dương [imath]a_{1},a_{2},\dots,a_{n} ,(n\ge 2)[/imath] thỏa mãn [imath]\dfrac{1}{1+(n-1)a_{1}}+\dfrac{1}{1+(n-1)a^2_{2}}+\dots+\dfrac{1}{1+(n-1)a^{n}_{n}}=1[/imath]. Chứng minh rằng:
[math]a_{1}+2a_{2}+\dots+na_{n} \ge \dfrac{n(n+1)}{2}[/math]
Giúp em với ạ !!

 

[kido2006]

[math]\dfrac{(n-1)a_i^i}{1+(n-1)a_i^i}=\sum_{k\neq i}\dfrac{1}{1+(n-1)a_k^k}\geq\dfrac{n-1}{\sqrt[n-1]{\prod\limits_{k\neq i}(1+(n-1)a_k^k)}}[/math][math]\Rightarrow \prod_{i=1}^n\dfrac{a_i^i}{1+(n-1)a_i^i}\geq\prod_{i=1}^n\dfrac{1}{\sqrt[n-1]{\prod\limits_{k\neq i}(1+(n-1)a_k^k)}}=\prod_{i=1}^n\dfrac{1}{1+(n-1)a_i^i}[/math][math]\Rightarrow \prod_{i=1}^na_i^i \ge 1[/math][math]\Rightarrow \sum_{i=1}^n{ia_i}\geq\dfrac{n(n+1)}{2}\left(\prod_{i=1}^na_i^i\right)^{\dfrac{2}{n(n+1)}}\geq\dfrac{n(n+1)}{2} (Q.E.D)[/math]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức