Không mất tổng quát giả sử [imath]a \ge b \ge c[/imath]
[imath]\Leftrightarrow P=\sum \left (\dfrac{(b+c)^2}{a}-4a \right )-4\left (3\sqrt[3]{\dfrac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}}-a-b-c \right )\geq 0[/imath]
Dễ tính được [imath]\sum \left (\dfrac{(b+c)^2}{a}-4a \right )=\sum \dfrac{(a-b)^2(a+b+c)}{ab}[/imath]
Và [imath]3\sqrt{\dfrac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}}-a-b-c =\dfrac{9(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)^3}{ \sqrt{a+b+c}(3\sqrt{a^3+b^3+c^3}+(a+b+c)\sqrt{a+b+c})}[/imath]
[imath]=\dfrac{\sum(a-b)^2(4a+4b+c)}{3\sqrt{(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)}+(a+b+c)^2} \ge \dfrac{\sum(a-b)^2(4a+4b+c)}{3(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2}=\dfrac{\sum(a-b)^2(4a+4b+c)}{2 \sum (2a^2+ab)}[/imath]
Khi đó [imath]P \ge \sum \dfrac{(a-b)^2(a+b+c)}{ab}-\dfrac{2\sum(a-b)^2(4a+4b+c)}{ \sum (2a^2+ab)}[/imath]
[imath]=\dfrac{\sum (a-b)^2c(2(a^3+b^3+c^3)+abc-5ab(a+b)+3(a^2c+b^2c+c^2a+c^2b))}{abc\sum (2a^2+bc)}[/imath]
Do đó ta chỉ cần đi chứng minh
[imath]\sum (a-b)^2c(2(a^3+b^3+c^3)+abc-5ab(a+b)+3(a^2c+b^2c+c^2a+c^2b)) \ge 0[/imath]
Thật vậy:
[imath]\sum (a-b)^2c(2(a^3+b^3+c^3)+abc-5ab(a+b)+3(a^2c+b^2c+c^2a+c^2b))[/imath]
[imath]=\sum (a-b)^2c(2c^3+abc+2(a-b)^2(a+b)+3(a^2c+b^2c+c^2a+c^2b-a^2b-ab^2))[/imath]
[imath]\ge \sum (a-b)^2c(3(a^2c+b^2c+c^2a+c^2b-a^2b-ab^2))[/imath]
[imath]=3\sum (a-b)^2c(a^2c+b^2c+c^2a+c^2b-a^2b-ab^2)[/imath]
[imath]\ge 3 (a-b)^2c(a^2c+b^2c+c^2a+c^2b-a^2b-ab^2)+3(a-c)^2b(ab^2+a^2b+b^2c+bc^2-a^2c-ac^2)[/imath]
[imath]\ge 3 (a-b)^2c(a^2c+c^2a-a^2b-ab^2)+3(a-b)^2b(ab^2+a^2b-a^2c-ac^2)[/imath]
[imath]=3(a-b)^2(b-c)^2(a+b+c) \ge 0[/imath]
Do đó ta được điều phải chứng minh
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
