Toán 9 BẤT ĐẲNG THỨC

[Edgarnguyen248]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn [math]x + y + z \leq 3[/math]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [math]P = \frac{1}{x^2+y^2}\ + \frac{1}{y^2 + z^2}\ + \frac{1}{z^2+x^2}\\[/math]

 

[_Error404_]

Giả sử z là số nhỏ nhất thì ta có [imath]y^2+z^2\leq(y+\frac{z}{2})^2[/imath]; [imath]x^2+z^2\leq(x+\frac{z}{2})^2[/imath]; [math]x^2+y^2\leq(x+\frac{z}{2})^2+(y+\frac{z}{2})^2[/math]. Đặt x+z/2=a; y+z/2=b ta có P là biểu thức 2 biến với a+b<3. Đến đây dùng bất đẳng thức cổ điển nữa là được )

 

[7 1 2 5]

Giả sử z là số nhỏ nhất thì ta có [imath]y^2+z^2\leq(y+\frac{z}{2})^2[/imath]; [imath]x^2+z^2\leq(x+\frac{z}{2})^2[/imath]; [math]x^2+y^2\leq(x+\frac{z}{2})^2+(y+\frac{z}{2})^2[/math]. Đặt x+z/2=a; y+z/2=b ta có P là biểu thức 2 biến với a+b<3. Đến đây dùng bất đẳng thức cổ điển nữa là được )

Nguyễn Phúc LươngBổ sung luôn nhé: Khi đó [imath]P \geq \dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2} \geq \dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{2}{ab}[/imath]
[imath]=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{3}{2ab} \geq \dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{3}{2.\dfrac{(a+b)^2}{4}}=\dfrac{4}{(a+b)^2}+\dfrac{6}{(a+b)^2}=\dfrac{10}{(a+b)^2} \geq \dfrac{10}{9}[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]a=b=\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x=y=\dfrac{3}{2}.z=0[/imath].

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức