Toán 10 Bất đẳng thức

[David Wind]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số dương a,b,c thỏa [imath]a^{2}+b^{2}+c^{2}=3[/imath]. chứng minh rằng
[imath]\sum \frac{b^{2}c^{2}}{a+3} \leq \frac{3}{4}[/imath]

 

[kido2006]

[imath]a^2+b^2+c^2=\dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{2}\geq \dfrac{2(a+b+c)}{2}=a+b+c[/imath]

Bất đẳng thức [imath]\Leftrightarrow \sum \left ( \dfrac{b^2c^2}{3}-\dfrac{b^2c^2}{a+3} \right )\geq \dfrac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{3}-\dfrac{3}{4}[/imath]

[imath]\Leftrightarrow \sum \dfrac{ab^2c^2}{a+3}\geq \dfrac{4\left (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \right )-\left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2}{4}[/imath]
Thật vậy
[imath]\sum \dfrac{ab^2c^2}{a+3}\geq \dfrac{9a^2b^2c^2}{a^2+b^2+c^2+3(a+b+c)}\geq \dfrac{9a^2b^2c^2}{4\left (a^2+b^2+c^2 \right )}\geq^{Schur} \dfrac{4\left (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \right )-\left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2}{4}[/imath]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức