Đặt [imath]f(a,b,c)=VT-VP[/imath]
Nhận thấy nếu ta thay bộ [imath](a,b,c)[/imath] thành [imath](a-x,b-x,c-x)[/imath] với [imath]x \leq \min \lbrace{ a,b,c \rbrace}[/imath] thì [imath]VT[/imath] giảm còn [imath]VP[/imath] không đổi.
Từ đó, nếu ta giả sử [imath]a=\min \lbrace{ a,b,c \rbrace}[/imath] thì ta có [imath]f(a,b,c) \geq f(0,b-a,c-a)[/imath]
Suy ra ta chỉ cần chứng minh với trường hợp [imath]a=0[/imath] là xong.
Điều đó tương đương với [imath](b^2+c^2)^3 \geq 27(b-c)^2b^2c^2[/imath](1)
Với [imath]c=0[/imath] ta thấy hiển nhiên. Xét [imath]c \neq 0[/imath].
(1) [imath]\Leftrightarrow [(\dfrac{b}{c})^2+1]^3 \geq 27(\dfrac{b}{c}-1)^2 \cdot (\dfrac{b}{c})^2[/imath]
Đặt [imath]t=\dfrac{b}{c} \geq 0[/imath] thì bất đẳng thức trở thành:
[imath](t^2+1)^3 \geq 27(t-1)^2t^2 \Leftrightarrow (t+\dfrac{1}{t})^2 \geq 27(t-2+\dfrac{1}{t})[/imath]
Tiếp tục đặt [imath]u=t+\dfrac{1}{t} \geq 2[/imath] thì bất đẳng thức trở thành:
[imath]u^3 \geq 27(u-2) \Leftrightarrow (u-3)^2(u+6) \geq 0[/imath](đúng)
Vậy BĐT đã được chứng minh.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
