Toán 8 Bất đẳng thức

[Blacklead Gladys]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

mn giúp e bài 14 ; 15 vs ak . e cần gấp
14. Cho [imath]x>0[/imath]. Chứng minh các bất đẳng thức
[math]x^{3}+x^{2}+3 \geq 5 x \quad ;\frac{1}{x^{2}-x+3} \leq \frac{4-x}{9} \quad(x<3) .[/math]
15. Cho hai số dương [imath]a, b[/imath] thỏa mãn [imath]2 a+b \leq 1[/imath]. Chứng minh
[math]\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq 8(1-a) \text {. }[/math]

 

[7 1 2 5]

14. [imath]x^3+x^2+3 \geq 5x \Leftrightarrow x^3+x^2-5x+3 \geq 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x-1)(x^2+2x-3) \geq 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x-1)^2(x+3) \geq 0[/imath] (luôn đúng)
[imath]\dfrac{1}{x^2-x+3} \leq \dfrac{4-x}{9} \Leftrightarrow (x^2-x+3)(4-x) \geq 9[/imath]
[imath]\Leftrightarrow -x^3+5x^2-7x+12 \geq 9[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^3-5x^2+7x-3 \leq 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x-3)(x^2-2x+1) \leq 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x-1)^2(x-3) \leq 0[/imath] (đúng do [imath]x<3[/imath])
15. [imath]2a+b \leq 1 \Rightarrow 2a<1 \Rightarrow a<\dfrac{1}{2}[/imath]
Ta có: [imath]0<b \leq 1-2a \Rightarrow \dfrac{1}{b} \geq \dfrac{1}{1-2a}[/imath]
Từ đó ta sẽ đi chứng minh [imath]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{1-2a} \geq 8(1-a)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{1-a}{a-2a^2} \geq 8(1-a)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (1-a)(\dfrac{1}{a-2a^2}-8) \geq 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (1-a)\cdot \dfrac{16a^2-8a+1}{a-2a^2} \geq 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (1-a) \cdot \dfrac{(4a-1)^2}{a(1-2a)} \geq 0[/imath](đúng do [imath]a<\dfrac{1}{2}[/imath])

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức