Đặt [imath]\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}\rightarrow x,y,z[/imath]
Bài toán trở thành
Cho x,y,z dương thỏa mãn [imath]xyz = 1[/imath] , Chứng minh [imath]\sum \dfrac{1}{x+2y+3}\leq \dfrac{1}{2}[/imath]
Thật vậy [imath]\sum \dfrac{1}{x+2y+3}\leq \sum \dfrac{1}{4}\left ( \dfrac{1}{x+y+1}+ \dfrac{1}{y+2}\right )[/imath]
Bài toán quen thuộc : [imath]\sum \dfrac{1}{x+y+1}\leq 1[/imath] (đặt [imath]x,y,z\rightarrow n^3,l^3,p^3[/imath] là đơn giản rồi ^^)
Và [imath]\sum \dfrac{1}{y+2}\leq 1[/imath]
Thật vậy bất đẳng thức [imath]\Leftrightarrow \sum \dfrac{y}{y+2}\geq 1[/imath]
Ta có [imath]\Leftrightarrow \sum \dfrac{y}{y+2}\geq \dfrac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+6}=\dfrac{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2+6}\geq \dfrac{x^2+y^2+z^2+6\sqrt[3]{xy.yz.zx}}{x^2+y^2+z^2+6}=1[/imath]
Do đó [imath]\sum \dfrac{1}{x+2y+3}\leq \dfrac{1}{4}\left ( 1+1\right )=\dfrac{1}{2}[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
