Toán 8 bất đẳng thức

[Blacklead Gladys]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) Cho [imath]a_1 \leq a_2,b_1 \leq b_2[/imath]. Chứng minh [imath]\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{2} \geq \dfrac{a_1+a_2}{2}.\dfrac{b_1+b_2}{2}[/imath]
b) Cho [imath]a_1 \leq a_2,b_1 \geq b_2[/imath]. Chứng minh [imath]\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{2} \leq \dfrac{a_1+a_2}{2}.\dfrac{b_1+b_2}{2}[/imath]
c) Cho [imath]x,y \geq 0[/imath]. Chứng minh [imath]\dfrac{x^{100}+y^{100}}{2} \geq \dfrac{x^{91}+y^{91}}{2}.\dfrac{x^9+y^9}{2}[/imath]

 

[7 1 2 5]

a) [imath]\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{2} \geq \dfrac{a_1+a_2}{2}.\dfrac{b_1+b_2}{2}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 2(a_1b_1+a_2b_2) \geq (a_1+a_2)(b_1+b_2)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2-a_1b_2-a_2b_1 \geq 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (a_1-a_2)(b_1-b_2) \geq 0[/imath](đúng)
b) Biến đổi tương tự câu a ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh về [imath](a_1-a_2)(b_1-b_2) \leq 0[/imath](đúng)
c) Xét các trường hợp:
[imath]x \geq y \Rightarrow x^{91} \geq y^{91}, x^9 \geq y^9[/imath]
Áp dụng a) với [imath]a_1=x^{91},a_2=y^{91},b_1=x^9,b_2=y^9[/imath] ta được đpcm.
[imath]x \leq y \Rightarrow x^{91} \leq y^{91}, x^9 \leq y^9[/imath]
Áp dụng a) với [imath]a_1=y^9,a_2=x^9,b_1=y^{91},b_2=x^{91}[/imath] ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Chuyên đề HSG: Bất đẳng thức