Toán 10 Bất đẳng thức

[Cheems]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Xét các số thực không âm [imath]a,b,c[/imath] thỏa mãn: [imath]a + b + c = 3[/imath]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[math]P = (a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3[/math]Mong mn giúp ạ !

 

[Lê.T.Hà]

[imath]x+y+z=0 \Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz[/imath]
[imath]\Rightarrow P=3(a-b)(b-c)(c-a) \Rightarrow P^2=9(a-b)^2(b-c)^2(a-c)^2[/imath]
Không mất tính tổng quát, giả sử [imath]c=min\{a;b;c\} [/imath]
[imath]\Rightarrow P^2 \leq 9(a-b)^2a^2b^2=\dfrac{9}{4}[(a+b)^2-4ab].2ab.2ab \leq \dfrac{1}{12}(a+b)^6 \leq \dfrac{1}{12}(a+b+c)^6[/imath]
[imath]\Rightarrow -\dfrac{9\sqrt{3}}{2} \leq P \leq \dfrac{9\sqrt{3}}{2}[/imath]