Toán 9 Bất đẳng thức

[MaiChi Nguyen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) Cho [imath]a, b \in[0 ; 1][/imath]. Chứng minh rằng: [imath]\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+a}+(1-a)(1-b) \leq 1[/imath]

b) Cho [imath]a, b, c \in[0 ; 2][/imath]. Chứng minh rằng:
[imath]\dfrac{a}{2+b+c}+\dfrac{b}{2+c+a}+\dfrac{c}{2+a+b}+\dfrac{(2-a)(2-b)(2-c)}{8} \leq 1[/imath]

c) Cho [imath]a, b \in[0 ; 2][/imath]. Chứng minh rằng: [imath]\dfrac{8}{a+b} \geq 2+(2-a)(2-b)[/imath]

Anh chị giúp em bài này với ạ, em cảm ơn

 

[7 1 2 5]

a) Ta viết [imath]\dfrac{a}{1+b}=a \cdot \dfrac{1}{1+b}=a(1-\dfrac{b}{1+b})=a-\dfrac{ab}{1+b}[/imath]
Tương tự [imath]\dfrac{b}{1+a}=b-\dfrac{ab}{1+a}[/imath]
Từ đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với [imath]a+b-\dfrac{ab}{1+a}-\dfrac{ab}{1+b}+1-a-b+ab \leq 1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow ab \leq \dfrac{ab}{1+a}+\dfrac{ab}{1+b}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b} \geq 1[/imath](đúng do [imath]a,b \leq 1 \Rightarrow \dfrac{1}{1+a},\dfrac{1}{1+b} \geq \dfrac{1}{2}[/imath]
b) Không mất tính tổng quát giả sử [imath]a \geq b \geq c[/imath].
Khi đó [imath]\dfrac{b}{2+c+a} \leq \dfrac{b}{2+b+c}, \dfrac{c}{2+a+b} \leq \dfrac{c}{2+b+c}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{a}{2+b+c}+\dfrac{b}{2+c+a}+\dfrac{c}{2+a+b} \leq \dfrac{a}{2+b+c}+\dfrac{b}{2+b+c}+\dfrac{c}{2+b+c}=\dfrac{a+b+c}{2+b+c}[/imath]
Từ đó ta chỉ cần chứng minh [imath]\dfrac{(2-a)(2-b)(2-c)}{8} \leq 1-\dfrac{a+b+c}{2+b+c}=\dfrac{2-a}{2+b+c}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{(2-b)(2-c)}{8} \leq \dfrac{1}{2+b+c}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 8-(2-b)(2-c)(2+b+c) \geq 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (b^2+bc)(2-c)+2c^2 \geq 0[/imath](đúng)
c) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với [imath]\dfrac{8}{a+b} \geq 6-2(a+b)+ab[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{8}{a+b}+2(a+b) \geq ab+6[/imath]
Ta có [imath]ab \leq \dfrac{(a+b)^2}{4}[/imath] nên ta chỉ cần chứng minh [imath]\dfrac{8}{a+b}+2(a+b) \geq \dfrac{(a+b)^2}{4}+8[/imath]
Đặt [imath]a+b=x \leq 4[/imath] thì bất đẳng thức trên trở thành [imath]\dfrac{8}{x}+2x \geq \dfrac{x^2}{4}+8 \Leftrightarrow \dfrac{(x-4)(x^2-4x+8)}{x} \leq 0[/imath](đúng do [imath]x \leq 4[/imath])

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Bất đẳng thức