Toán 9 Bất đẳng thức

[oanh6807]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. chứng minh rằng: $\sqrt{a(b+1)} + \sqrt{b(a+1)} + \sqrt{c(a+1)} \le \dfrac{3}2\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}$
Giúp mình với ạ!!!!!!!!

 

[Lê.T.Hà]

$$\Leftrightarrow \sum \sqrt{\frac{a.1}{(a+1)(c+1)}}\leq \dfrac{3}{2}$$
Có: $$\sum \sqrt{\dfrac{a.1}{(a+1)(c+1)}}\leq\dfrac{1}{2}\sum \left ( \dfrac{a}{a+1}+\dfrac{1}{c+1} \right )=\dfrac{3}{2}$$ (đpcm)

 

[oanh6807]

$$\Leftrightarrow \sum \sqrt{\frac{a.1}{(a+1)(c+1)}}\leq \dfrac{3}{2}$$
Có: $$\sum \sqrt{\dfrac{a.1}{(a+1)(c+1)}}\leq\dfrac{1}{2}\sum \left ( \dfrac{a}{a+1}+\dfrac{1}{c+1} \right )=\dfrac{3}{2}$$ (đpcm)

mình không hiểu! Bạn giải chi tiết hơn đc ko ạ?

 

[7 1 2 5]

mình không hiểu! Bạn giải chi tiết hơn đc ko ạ?

Chắc do bạn không hiểu dấu $\sum$ nên mình giải thích ý của chị @Lê.T.Hà như sau.
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$\dfrac{\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(c+1)}+\sqrt{c(a+1)}}{\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}} \leq \dfrac{3}{2}$

$\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{(a+1)(c+1)}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{(b+1)(a+1)}}+\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{(c+1)(b+1)}} \leq \dfrac{3}{2}$
Ta có $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{(a+1)(c+1)}}=\sqrt{\dfrac{a}{a+1}} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{c+1}} \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{1}{c+1})$
Tương tự cộng vế theo vế thì ta được
$VT\leq\dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{1}{c+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{c}{c+1}+\dfrac{1}{b+1})=\dfrac{3}{2}$

 

[oanh6807]

Chắc do bạn không hiểu dấu [TEX]\sum [/TEX]nên mình giải thích ý của chị @Lê.T.Hà như sau.
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
[TEX]\dfrac{\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(c+1)}+\sqrt{c(a+1)}}{\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}} \leq \dfrac{3}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{(a+1)(c+1)}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{(b+1)(a+1)}}+\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{(c+1)(b+1)}} \leq \dfrac{3}{2}[/TEX]
Ta có [TEX]\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{(a+1)(c+1)}}=\sqrt{\dfrac{a}{a+1}} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{c+1}} \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{1}{c+1})[/TEX]
Tương tự cộng vế theo vế thì ta được [TEX]VT \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{1}{c+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{c}{c+1}+\dfrac{1}{b+1})=\dfrac{3}{2}[/TEX]

bạn có thể giải thích đơn giản dấu này cho mik được ko ạ?

 

[7 1 2 5]

bạn có thể giải thích đơn giản dấu này cho mik được ko ạ?

Dấu đó là dấu tổng có quy luật nhé. Viết như thế thay vì viết tất cả các hạng tử thì chỉ cần viết hạng tử đại diện là được nhé.