Toán 9 Bất đẳng thức

[_Error404_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ba số a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của [tex]P=\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}[/tex]
Giúp em với @kido2006 @Mộc Nhãn

 

[kido2006]

Cho ba số a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của [tex]P=\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}[/tex]
Giúp em với @kido2006 @Mộc Nhãn

Không biết bạn có ghi nhầm đề khổng nhỉ ?
Bài này không có GTNN đâu bạn :vvv

 

[7 1 2 5]

Mình nghĩ đề bài là tìm max nhé.
Ta sẽ đi tìm [TEX]\min \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}[/TEX]
[tex]\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2} \geq \frac{(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}=\frac{2(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}+2\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}+2\sqrt{(c^2+a^2)(a^2+b^2)}}{2(a^2+b^2+c^2)+6}[/tex]
Lại có: [TEX]\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)} \geq b^2+ac[/TEX](BĐT Bunyakovsky)
Suy ra [TEX]\frac{2(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}+2\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}+2\sqrt{(c^2+a^2)(a^2+b^2)}}{2(a^2+b^2+c^2)+6} \geq \frac{4(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)}{2(a^2+b^2+c^2)+6}=\frac{3(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}=\frac{3(a^2+b^2+c^2)+9}{2(a^2+b^2+c^2)+6}=\frac{3}{2}[/TEX]
Từ đó [TEX]3-2P=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2} \geq \frac{3}{2} \Rightarrow P \leq \frac{3}{4}[/TEX]

Nếu có thắc mắc bạn có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ nhé.
Chúc bạn học tốt!

 

[_Error404_]

Nếu có thắc mắc bạn có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ nhé.
Chúc bạn học tốt!

Anh cho em hỏi vì sao ta nghĩ đến hướng đi này ạ

 

[7 1 2 5]

Anh cho em hỏi vì sao ta nghĩ đến hướng đi này ạ

Trả lời câu này hơi khó nhỉ
Thứ nhất, câu này là anh thấy quen (Iran TST năm mấy đó).
Thứ hai, ở dạng phân thức thì chúng ta thường nghĩ tới BĐT Schwartz, nên cố biến đổi biểu thức đưa về tìm min.
Ngoài ra, khi nhìn thấy bài này thì anh có 1 hướng đi khác, đó là sử dụng BĐT [TEX]x^2+y^2 \geq \frac{1}{2}(x+y)^2[/TEX] cho mẫu thức rồi dùng phương pháp U.C.T để đánh giá tiếp, nhưng BĐT này khá chặt nên cách đó không ra . Em có thể lấy cách đó làm kinh nghiệm lần sau cũng được nhé. :v