Toán 10 Bất Đẳng Thức

[kido2006]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả mãn $2(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)=5(a+b+c)$
Chứng minh rằng

$4(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)+7abc \le 25$
​

@Lê.T.Hà , @Mộc Nhãn Help me!!
Cảm ơn mọi người nhiều !!

 

[Lê.T.Hà]

Nhìn quen quá ta? Đề TST năm nay thì phải (câu này được đánh giá là dễ nhất trong đề)
- Nếu a;b;c đồng thời bằng 0 thì BĐT hiển nhiên đúng
- Với a;b;c ko đồng thời bằng 0 hay p>0
BĐT quen thuộc: [tex]\dfrac{7}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 7abc[/tex]
Đặt ẩn p;q;r thì ta cần chứng minh: [tex]4(p^2-2q)+2q+\dfrac{7}{9}pq \leq 25[/tex] (1)
Giả thiết: [tex]5p=2(p^2-2q)+3q=2p^2-q \geq 2p^2-\dfrac{p^2}{3} \Rightarrow 5p(p-3) \leq 0 \Rightarrow p \leq 3[/tex] (2)
Đồng thời cũng có: [tex]2p^2-5p=q \geq 0\Rightarrow p(2p-5) \geq 0 \Rightarrow p \geq \dfrac{5}{2}[/tex] (3)
Từ (1);(2) suy ra [tex]\dfrac{5}{2} \leq p \leq 3[/tex]
Thế [tex]q=2p^2-5p[/tex] vào (1) và bấm máy bậc 3 hình như là xong luôn :v