Đặt [tex]p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc[/tex]
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: [tex]2(a+b+c)-\frac{2ab}{a+b}-\frac{2bc}{b+c}-\frac{2ca}{a+c} \geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}{a+b+c} \Leftrightarrow \frac{2ab}{a+b}+\frac{2bc}{b+c}+\frac{2ca}{a+c} \leq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c} \Leftrightarrow 2abc(\frac{1}{ac+bc}+\frac{1}{ab+ac}+\frac{1}{ab+bc}) \leq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c} \Leftrightarrow 2r(\frac{1}{q-ab}+\frac{1}{q-bc}+\frac{1}{q-ac}) \leq \frac{3q}{p} \Leftrightarrow 2r.\frac{3q^2-2q.(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)}{q^3-q^2(ab+bc+ca)+q.abc(a+b+c)-a^2b^2c^2} \leq \frac{3q}{p} \Leftrightarrow 2r.\frac{q^2+pr}{pqr-r^2} \leq \frac{3q}{p} \Leftrightarrow \frac{2q^2+2pr}{pq-r} \leq \frac{3q}{p} \Leftrightarrow 2q^2p+2p^2r \leq 3q^2p-3qr \Leftrightarrow q^2p \geq 3qr+2p^2r[/tex]
Vì [TEX]2p^2r=2pr.p \leq \frac{2}{3}q^2p,3qr \leq \frac{1}{3}q.pq=\frac{1}{3}q^2p[/TEX] nên ta có đpcm.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
