[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Em cảm ơn nhiều ạ.
Toán 9 Bất đẳng thức
- Thread starter Windeee
- Ngày gửi
- Replies 2
- Views 397
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Em cảm ơn nhiều ạ.
Một lời giải không mấy đẹp đẽ :
Đặt [TEX]f(a,b,c)=VT[/TEX]. Không mất tính tổng quát giả sử [tex]c=\min\left \{ a,b,c \right \}[/tex]
Khi đó xét t là số thực dương thỏa mãn [TEX]t^2+2tc=ab+bc+ca=3 \Rightarrow (t+c)^2=(a+c)(b+c)[/TEX]
Ta có: [tex]f(a,b,c)-f(t,t,c)=\frac{1}{4+(a+b)^2}+\frac{1}{4+(b+c)^2}+\frac{1}{4+(c+a)^2}-\frac{2}{4+(c+t)^2}-\frac{1}{4+4t^2}=[\frac{1}{4+(c+b)^2}+\frac{1}{4+(a+c)^2}-\frac{2}{4+(a+c)(b+c)}]+\frac{1}{4+(a+b)^2}-\frac{1}{4+4t^2}=\frac{[(a+c)(b+c)-4](a-c)^2}{[4+(a+c)^2][4+(b+c)^2][4+(a+c)(b+c)]}+\frac{(2t-b-c)(2t+b+c)}{[4+(b+a)^2](4+4t^2)} \leq 0[/tex] (do [TEX](c+a)(c+b)=c^2+ab+bc+ca =c^2+3 \leq 4, (t+c)^2=(a+c)(b+c) \leq (\frac{a+b+2c}{2}))^2 \Rightarrow t+c \leq \frac{a+b+2c}{2} \Rightarrow 2t \leq b+c[/TEX])
Từ đó [TEX]f(a,b,c)\leq f(t,t,c) =\frac{2}{4+(c+t)^2}+\frac{1}{4+4t^2}=\frac{2}{4+(\frac{3-t^2}{2t}+t)^2}+\frac{1}{4+4t^2}=\frac{3}{8}-\frac{3(t-1)^2(t+1)^2(t^2+3)}{8(t^2+1)(t^4+22t^2+9)} \leq \frac{3}{8}[/TEX] (vì [TEX]t^2+2tc=3 \Rightarrow c=\frac{3-t^2}{2t}[/TEX])
(Đoạn chứng minh [TEX]f(t,t,c) \leq \frac{3}{8}[/TEX] có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)
Đặt [TEX]f(a,b,c)=VT[/TEX]. Không mất tính tổng quát giả sử [tex]c=\min\left \{ a,b,c \right \}[/tex]
Khi đó xét t là số thực dương thỏa mãn [TEX]t^2+2tc=ab+bc+ca=3 \Rightarrow (t+c)^2=(a+c)(b+c)[/TEX]
Ta có: [tex]f(a,b,c)-f(t,t,c)=\frac{1}{4+(a+b)^2}+\frac{1}{4+(b+c)^2}+\frac{1}{4+(c+a)^2}-\frac{2}{4+(c+t)^2}-\frac{1}{4+4t^2}=[\frac{1}{4+(c+b)^2}+\frac{1}{4+(a+c)^2}-\frac{2}{4+(a+c)(b+c)}]+\frac{1}{4+(a+b)^2}-\frac{1}{4+4t^2}=\frac{[(a+c)(b+c)-4](a-c)^2}{[4+(a+c)^2][4+(b+c)^2][4+(a+c)(b+c)]}+\frac{(2t-b-c)(2t+b+c)}{[4+(b+a)^2](4+4t^2)} \leq 0[/tex] (do [TEX](c+a)(c+b)=c^2+ab+bc+ca =c^2+3 \leq 4, (t+c)^2=(a+c)(b+c) \leq (\frac{a+b+2c}{2}))^2 \Rightarrow t+c \leq \frac{a+b+2c}{2} \Rightarrow 2t \leq b+c[/TEX])
Từ đó [TEX]f(a,b,c)\leq f(t,t,c) =\frac{2}{4+(c+t)^2}+\frac{1}{4+4t^2}=\frac{2}{4+(\frac{3-t^2}{2t}+t)^2}+\frac{1}{4+4t^2}=\frac{3}{8}-\frac{3(t-1)^2(t+1)^2(t^2+3)}{8(t^2+1)(t^4+22t^2+9)} \leq \frac{3}{8}[/TEX] (vì [TEX]t^2+2tc=3 \Rightarrow c=\frac{3-t^2}{2t}[/TEX])
(Đoạn chứng minh [TEX]f(t,t,c) \leq \frac{3}{8}[/TEX] có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)
Chà mình nghĩ C_S chắc cũng được mừ:
[tex]\Leftrightarrow \sum \dfrac{4}{4+(a+b)^2}\leq \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \dfrac{(a+b)^2}{4+(a+b)^2} \geq \dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{4(a+b+c)^2}{12+(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}\geq \dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)+10(ab+bc+ca) \geq 36[/tex]
Hiển nhiên đúng do [tex]2(a^2+b^2+c^2)+10(ab+bc+ca) \geq 12(ab+bc+ca)=36[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sum \dfrac{4}{4+(a+b)^2}\leq \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \dfrac{(a+b)^2}{4+(a+b)^2} \geq \dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{4(a+b+c)^2}{12+(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}\geq \dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)+10(ab+bc+ca) \geq 36[/tex]
Hiển nhiên đúng do [tex]2(a^2+b^2+c^2)+10(ab+bc+ca) \geq 12(ab+bc+ca)=36[/tex]