Toán 9 Bất đẳng thức

[Windeee]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c không âm thỏa mãn: [tex]ab+bc+ca=1[/tex]. Chứng minh rằng: [tex]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{5}{2}[/tex]
Mình cảm ơn nhiều ạ.

 

[7 1 2 5]

Phương pháp dồn biến khá hiệu quả cho dạng bài này:
Giả sử [tex]c=max\left \{ a,b,c \right \}[/tex]
Đặt [tex]f(a,b,c)=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}[/tex]
Khi đó ta có: [tex]f(a,b,\frac{1-ab}{a+b})-f(a+b,\frac{1}{a+b},0)=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}-1-\frac{1}{1+(a+b)^2}[/tex]
Vì [tex]c=max\left \{ a,b,c \right \}\Rightarrow 2c \geq a+b\Rightarrow 2(1-ab)=2c(a+b) \geq (a+b)^2 \geq ab(a+b)^2 \Rightarrow \frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}-1-\frac{1}{1+(a+b)^2} \geq 0 \Rightarrow f(a,b,c) \geq f(a+b,\frac{1}{a+b},0)[/tex]
Từ đó ta chỉ cần chứng minh [tex]f(x,y,0) \geq \frac{5}{2}[/tex] với [TEX]x+y \geq 2\sqrt{xy}=2[/TEX]
Thật vậy, [tex]f(x,y,0)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x+y}=\frac{(x+y)^2+xy}{xy(x+y)}=\frac{(x+y)^2+1}{x+y}=x+y+\frac{1}{x+y} \geq 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]a=b=1,c=0[/tex]

 

[kido2006]

Cho a,b,c không âm thỏa mãn: [tex]ab+bc+ca=1[/tex]. Chứng minh rằng: [tex]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{5}{2}[/tex]
Mình cảm ơn nhiều ạ.

1 cách khác anh @Mộc Nhãn nhưng vẫn là dồn biến :vvv
Ta có bổ đề sau với a,b,c không âm thỏa mãn: [tex]ab+bc+ca=1[/tex] ta luôn có [tex]\frac{6-5abc}{a+b+c}\leq 3[/tex]
Chứng minh:
[tex]\frac{6-5abc}{a+b+c}\leq 3\Leftrightarrow a+b+c+\frac{5}{3}abc\geq 2[/tex]
Ta có a,b,c không âm và [tex]ab+bc+ca=1[/tex]
Không mất tính tổng quát, giả sử [tex]a\geq b\geq c[/tex]
[tex]\Rightarrow 0\leq bc\leq \frac{1}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow a=\frac{1-bc}{b+c}[/tex]
[tex]\frac{1-bc}{b+c}+b+c+\frac{5}{3}.\frac{1-bc}{b+c}.bc\geq 2 \Leftrightarrow 2(b+c-1)^2+bc(2-5bc)\geq 0[/tex] (luôn đúng với [tex]0\leq bc\leq \frac{1}{3}[/tex] )
Áp dụng ta có [tex]5abc\geq 6-3(a+b+c)[/tex]

Bất đẳng thức cần chứng minh [tex]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow 2(a+b+c)^2+5abc-5(a+b+c)+2\geq 0[/tex]
Ta có [tex]2(a+b+c)^2+5abc-5(a+b+c)+2\geq 2(a+b+c)^2-5(a+b+c)+2+6-3(a+b+c)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(a+b+c-2)^2\geq 0(luôn.đúng)[/tex]
Vậy ta có điều phải chứng minh