Toán 9 Bất đẳng thức

[Darkness Evolution]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a;b;c \in (0;1)$ thỏa mãn $abc=(1-a)(1-b)(1-c).
Chứng minh rằng [tex]a^2+b^2+c^2 \geq \frac{3}{4}[/tex]

 

[Lê.T.Hà]

[tex]abc=(1-a)(1-b)(1-c)\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{1-a} \right )\left ( \frac{b}{1-b} \right )\left ( \frac{c}{1-c} \right )=1[/tex]
Đặt [tex](x;y;z)=\left ( \frac{a}{1-a};\frac{b}{1-b};\frac{c}{1-c} \right )\Rightarrow xyz=1[/tex]
Đồng thời [tex]\Rightarrow a=\frac{x}{x+1};b=\frac{y}{y+1};c=\frac{z}{z+1}[/tex]
[tex]\Rightarrow P=\sum \frac{x^2}{(x+1)^2}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+3}[/tex]
Ta chỉ cần chứng minh:
[tex]\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+3}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+8(xy+yz+zx)-6(x+y+z)-9\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x+y+z)^2+9-6(x+y+z)+6(xy+yz+zx)-18\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2\sqrt{9(x+y+z)^2}-6(x+y+z)+6.3\sqrt[3]{(xyz)^2}-18\geq 0[/tex]