Toán 9 Bất đẳng thức.

iiarareum

iiarareum

Học sinh chăm học
Thành viên
13 Tháng chín 2018
444
483
76
20
Vĩnh Phúc
THCS TT Hoa Sơn
Last edited:
  • Like
Reactions: 02-07-2019.
7 1 2 5

7 1 2 5

Cựu TMod Toán
Thành viên
19 Tháng một 2019
6,871
11,479
1,141
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
Đặt p=x+y+z,q=xy+yz+zx,r=xyzp=x+y+z,q=xy+yz+zx,r=xyz
Ta có: x+y+y+z+z+x=(x+y+y+z+z+x)2=2(x+y+z)+2∑(x+y)(x+y)=2p+2∑x2+q\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}=\sqrt{(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})^2}=\sqrt{2(x+y+z)+2\sum \sqrt{(x+y)(x+y)}}=\sqrt{2p+2\sum \sqrt{x^2+q}}
Áp dụng BĐT Minkowsky ta có: ∑a2+q≥(a+b+c)2+(q+q+q)2=p2+9q\sum \sqrt{a^2+q}\geq \sqrt{(a+b+c)^2+(\sqrt{q}+\sqrt{q}+\sqrt{q})^2}=\sqrt{p^2+9q}
Từ đó: VP=(x+y)(y+z)(z+x)(x+y+y+z+z+x)=pq−r.2p+2∑(x+y)(x+z)≥pq−19pq.2p+2p2+9q=89pq.2p+2p2+9q=34pq(p+p2+9q)VP=\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})=\sqrt{pq-r}.\sqrt{2p+2\sum \sqrt{(x+y)(x+z)}}\geq \sqrt{pq-\frac{1}{9}pq}.\sqrt{2p+2\sqrt{p^2+9q}}=\sqrt{\frac{8}{9}pq}.\sqrt{2p+2\sqrt{p^2+9q}}=\frac{3}{4}\sqrt{pq(p+\sqrt{p^2+9q})}
Ta có: p2≥3q⇒p≥3q⇒VP≥43q3q(3q+3q+9q)=433q2+q36q2=439q2=4q=VTp^2\geq 3q\Rightarrow p\geq \sqrt{3q}\Rightarrow VP\geq \frac{4}{3}\sqrt{q\sqrt{3q}(\sqrt{3q}+\sqrt{3q+9q})}=\frac{4}{3}\sqrt{3q^2+q\sqrt{36q^2}}=\frac{4}{3}\sqrt{9q^2}=4q=VT
 
  • Like
Reactions: Kaito Kidㅤ, tiểu thiên sứ, Nguyễn Quế Sơn and 4 others
Wweee

Wweee

Học sinh
Thành viên
4 Tháng ba 2020
188
76
21
20
Hà Nội
GG UwaU
Cách 2 nè bạn :
Đặt : x+y=a,y+z=b,z+x=c\sqrt{x+y}=a ,\sqrt{y+z}=b,\sqrt{z+x}=c
Bài toán <=> chứng minh a4+b4+c4+abc(a+b+c)≥2(a2b2+b2c2+a2c2)a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geq 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})
Chuẩn hóa a+b+c=1
Đổi biến p,q,r như trên, bài toán <=> chứng minh
(p2−2q)2+pr≥4q2−8pr<=>1−4q+4q2+9pr≥4q2<=>9pr≥4q−1<=>r≥p(4q−p2)9(p^2-2q)^2+pr\geq 4q^2-8pr <=> 1-4q+4q^2+9pr\geq 4q^2 <=> 9pr\geq 4q-1 <=> r\geq \frac{p(4q-p^2)}{9}
(BĐT Schur )
=> đpcm
 
  • Like
Reactions: Kaito Kidㅤ, 7 1 2 5 and iiarareum
iceghost

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,018
7,484
941
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
Góp vui:
Ta có 4(xy+yz+xz)(x+y+z)⩽92(x+y)(y+z)(x+z)4(xy+yz+xz)(x+y+z) \leqslant \dfrac{9}2 (x+y)(y+z)(x+z)
Đặt (x+y,y+z,x+z)→(a,b,c)(x+y, y+z, x+z) \to (a, b, c) thì
VT⩽9abca+b+cVT \leqslant \dfrac{9abc}{a+b+c}
Ta cần chứng minh 9abca+b+c⩽abc(a+b+c)\dfrac{9abc}{a+b+c} \leqslant \sqrt{abc}(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})
Hay (a+b+c)(a+b+c)⩾9abc(a+b+c)(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \geqslant 9\sqrt{abc}
Áp dụng bđt AM-GM cho VT ta có đpcm
 
  • Like
Reactions: 02-07-2019., Nguyễn Huy Vũ Dũng and Takudo
You must log in or register to reply here.
Top Bottom