Toán 8 Bất đẳng thức

[02-07-2019.]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức [tex]Q=\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ca}{b+ca}-\frac{1}{4abc}[/tex]
Em cảm ơn.

 

[7 1 2 5]

[tex]Q=\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ca}{b+ca}-\frac{1}{4abc}=\frac{ab}{c(a+b+c)+ab}+\frac{bc}{a(a+b+c)+bc}+\frac{ca}{b(a+b+c)+ca}-\frac{1}{4abc}=\frac{ab}{(c+a)(c+b)}+\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(c+b)(a+b)}-\frac{1}{4abc}=\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{1}{4abc}=\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}-\frac{1}{4abc}=\frac{ab+bc+ca-3abc}{ab+bc+ca-abc}-\frac{1}{4abc}[/tex]
Đặt [tex]q=ab+bc+ca,r=abc[/tex]
Ta có: [tex]Q=\frac{q-3r}{q-r}-\frac{1}{4r}=1-\frac{2r}{q-r}-\frac{1}{4r}[/tex]
Ta thấy: [tex]\frac{2r}{q-r}+\frac{1}{4r}=\frac{2r}{q-r}+\frac{1}{108r}+\frac{13}{54r}\geq 2\sqrt{\frac{2r}{q-r}.\frac{1}{108r}}+\frac{13}{54abc}=2\sqrt{\frac{1}{54(q-r)}}+\frac{13}{2.27abc}\geq 2\sqrt{\frac{1}{54(a+b)(b+c)(c+a)}}+\frac{13}{2(a+b+c)^3}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2[2(a+b+c)]^3}}+\frac{13}{2}=2\sqrt{\frac{1}{16}}+\frac{13}{2}=7\Rightarrow Q\leq -6[/tex]