Toán 8 Bất đẳng thức

[AlexisBorjanov]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho các số thực dương a, b, c sao cho abc=1. Chứng minh [tex]\frac{a+3}{(a+1)^{3}}+\frac{b+3}{(b+1)^{3}}+\frac{c+3}{(c+1)^{3}}[/tex]
2. Cho các số thực không âm a, b, c sao cho ab+bc+ca+abc=4. Chứng minh [tex]a+b+c \geq ab+bc+ca[/tex]
Em xin chân thành cảm ơn!

 

[Wweee]

Câu 1 thiếu đề à bạn ???
Câu 2 Đặt [tex]a=\frac{2x}{y+z},b=\frac{2y}{x+z},c=\frac{2z}{x+y} Dpcm <=> \sum \frac{x}{y+z} \geq \sum \frac{2xy}{(y+z)(z+x)}[/tex]
Quy đồng lên ta được <=> [tex]\sum x(x+z)(x+z)\geq \sum 2xy(x+y)[/tex]
Phá cụm này ra ta được [tex]\sum x(x^2-xz-xy+yz)\geq 0 <=> \sum x(x-y)(x-z)\geq 0[/tex]
=> ta có đpcm
x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-z)+z(z-x)(z-y) [tex]\geq 0[/tex] ( BĐT Schur )

 

[AlexisBorjanov]

Câu 1 là lớn hơn bằng 3 nhé.
Câu 2 có cách nào khác mà chỉ dùng Dirichlet và AM-GM ko bạn?

 

[ZooKeeper]

2. Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số $a-1, \,\ b-1, \,\ c-1$ tồn tại ít nhất hai số cùng dấu.
KMTTQ, giả sử $(a-1)(b-1)\ge 0$

Mặt khác $$ab+bc+ca+abc=4\implies c=\frac{4-ab}{a+b+ab}$$
Nên ta cần CM $$a+b+\frac{4-ab}{a+b+ab}\ge ab+a\cdot \frac{4-ab}{a+b+ab}+b\cdot \frac{4-ab}{a+b+ab}$$
$$\Leftrightarrow ab(a+b)+a^2+b^2+ab+4\ge 4(a+b)+a^2b^2\Leftrightarrow (a+b-2)^2\ge ab(a-1)(b-1)$$
Áp dụng AM-GM và để í là $ab\le ab+bc+ca+abc=4$ ta được $$(a+b-2)^2=[(a-1)+(b-1)]^2\ge 4(a-1)(b-1)\ge ab(a-1)(b-1)$$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$ và $a=b=2,c=0$ và các hoán vị