Toán 8 Bất đẳng thức

[Lê Tường Vi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) C/m với mọi x, y, z có:
a, x^2 + y^2 + z^2 >_ xy + yz +xz
b, x^2 + y^2 + z^2 >_ 2xy - 2xz + 2yz
c, x^2 + y^2 + z^2 + 3 >_ 2(x + y + z)
d, (x + y)^2 _< 2(x^2 + y^2)
e, x^2 + y^2 + z^2/ 3 >_ (x + y + z/ 3)^2
2) Cho a, b, c, d là STN
a, 1/a + 1/b >_ 4/a+b
b, 1/a + 1/b + 1/c >_ 9/a+b+c
c, 1/a + 1/b + 1/c >_ 16/a+b+c+d
d, a^2/m + b^2/n >_ (a+ c)^2/m+n (m, n > 0)
>_ là lớn hơn bằng và _< là bé hơn bằng ạ
Em không biết ghi kiểu phân số hay số mũ nên nhìn hơi rối. Mong mn giúp em ạ

 

[7 1 2 5]

1.a) [tex]2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2xz+x^2)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx[/tex]
b) [tex]x^2+y^2+z^2-2xy+2yz-2xz=(x-y-z)^2\geq 0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq 2xy-2yz+2zx[/tex]
c) [tex]x^2+y^2+z^2+3-2(x+y+z)=(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)+(z^2-2z+1)=(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\geq 0\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\geq 2(x+y+z)[/tex]
d) [tex](x+y)^2-2(x^2+y^2)=2xy-x^2-y^2=-(x-y)^2\leq 0\Rightarrow (x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)[/tex]
e) [tex]\frac{x^2+y^2+z^2}{3}-(\frac{x+y+z}{3})^2=\frac{3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2}{9}=\frac{2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}{9}\geq 0\Rightarrow \frac{x^2+y^2+z^2}{3}\geq (\frac{x+y+z}{3})^2[/tex]
2. a)[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{b(a+b)+a(a+b)-4ab}{ab(a+b)}=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}[/tex]
b) [tex]\left\{\begin{matrix} a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}} \end{matrix}\right.\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}[/tex]
c) Tương tự câu b
d) [tex]\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}-\frac{(a+b)^2}{m+n}=\frac{a^2n(m+n)+b^2m(m+n)-mn(a+b)^2}{mn(m+n)}=\frac{a^2mn+a^2n^2+b^2m^2+b^2mn-mn(a^2+2ab+b^2)}{mn(m+n)}=\frac{a^2n^2+b^2m^2-2abmn}{mn(m+n)}=\frac{(an-bm)^2}{mn(m+n)}\geq 0\Rightarrow \frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\geq \frac{(a+b)^2}{m+n}[/tex]

 

[Lê Tường Vi]

1.a) [tex]2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2xz+x^2)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx[/tex]
b) [tex]x^2+y^2+z^2-2xy+2yz-2xz=(x-y-z)^2\geq 0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq 2xy-2yz+2zx[/tex]
c) [tex]x^2+y^2+z^2+3-2(x+y+z)=(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)+(z^2-2z+1)=(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\geq 0\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\geq 2(x+y+z)[/tex]
d) [tex](x+y)^2-2(x^2+y^2)=2xy-x^2-y^2=-(x-y)^2\leq 0\Rightarrow (x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)[/tex]
e) [tex]\frac{x^2+y^2+z^2}{3}-(\frac{x+y+z}{3})^2=\frac{3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2}{9}=\frac{2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}{9}\geq 0\Rightarrow \frac{x^2+y^2+z^2}{3}\geq (\frac{x+y+z}{3})^2[/tex]
2. a)[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{b(a+b)+a(a+b)-4ab}{ab(a+b)}=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}[/tex]
b) [tex]\left\{\begin{matrix} a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}} \end{matrix}\right.\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}[/tex]
c) Tương tự câu b
d) [tex]\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}-\frac{(a+b)^2}{m+n}=\frac{a^2n(m+n)+b^2m(m+n)-mn(a+b)^2}{mn(m+n)}=\frac{a^2mn+a^2n^2+b^2m^2+b^2mn-mn(a^2+2ab+b^2)}{mn(m+n)}=\frac{a^2n^2+b^2m^2-2abmn}{mn(m+n)}=\frac{(an-bm)^2}{mn(m+n)}\geq 0\Rightarrow \frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\geq \frac{(a+b)^2}{m+n}[/tex]

câu 2b em chưa hiểu lắm ạ

 

[7 1 2 5]

câu 2b em chưa hiểu lắm ạ

Áp dụng BĐT Cauchy thôi em.