Toán 9 Bất Đẳng Thức

[manhhunghm13032005@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[7 1 2 5]

Thực sự bài này rất phức tạp và rất hack não, theo mình thì tác giả làm ngược hoặc có một cách bí mật gì đó. Còn đây là cách giải thích của mình:
Ta có: [tex]P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+(y+y)^3}}+\sqrt{\frac{y^3}{y^3+(x+y)^3}}+\sqrt{\frac{y^3}{y^3+(x+y)^3}}[/tex]
Nếu ta thay "những ẩn y đặc biệt" thành z thì ta sẽ có: [tex]P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+(y+z)^3}}+\sqrt{\frac{y^3}{y^3+(x+z)^3}}+\sqrt{\frac{z^3}{z^3+(x+y)^3}}[/tex]
Tới đây ta sẽ chứng minh BĐT phụ dạng [tex]\sqrt{\frac{x^3}{x^3+(y+z)^3}} \geq \frac{x^k}{x^k+y^k+z^k}[/tex]
Chuẩn hóa [tex]y=z=1 \Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+8}} \geq \frac{x^k}{x^k+2} \Rightarrow \frac{x^3}{x^3+8} \geq \frac{x^{2k}}{x^{2k}+4x^k+4} \Rightarrow x^{2k+3}+4x^{k+3}+4x^3 \geq x^{2k+3}+8x^{2k} \Rightarrow x^{k+3}+x^3 \geq 2x^{2k}[/tex]
Theo BĐT Cauchy ta có: [tex]x^{k+3}+x^3 \geq 2\sqrt{x^{k+3}.x^3}=2x^{\frac{k+6}{2}}[/tex]
Từ đó [tex]\frac{k+6}{2}=2k \Rightarrow k=2 \Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+(y+z)^3}} \geq \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}[/tex]
Rồi ta thế lại y = z sẽ được BĐT phụ.

 

[manhhunghm13032005@gmail.com]

Thực sự bài này rất phức tạp và rất hack não, theo mình thì tác giả làm ngược hoặc có một cách bí mật gì đó. Còn đây là cách giải thích của mình:
Ta có: [tex]P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+(y+y)^3}}+\sqrt{\frac{y^3}{y^3+(x+y)^3}}+\sqrt{\frac{y^3}{y^3+(x+y)^3}}[/tex]
Nếu ta thay "những ẩn y đặc biệt" thành z thì ta sẽ có: [tex]P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+(y+z)^3}}+\sqrt{\frac{y^3}{y^3+(x+z)^3}}+\sqrt{\frac{z^3}{z^3+(x+y)^3}}[/tex]
Tới đây ta sẽ chứng minh BĐT phụ dạng [tex]\sqrt{\frac{x^3}{x^3+(y+z)^3}} \geq \frac{x^k}{x^k+y^k+z^k}[/tex]
Chuẩn hóa [tex]y=z=1 \Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+8}} \geq \frac{x^k}{x^k+2} \Rightarrow \frac{x^3}{x^3+8} \geq \frac{x^{2k}}{x^{2k}+4x^k+4} \Rightarrow x^{2k+3}+4x^{k+3}+4x^3 \geq x^{2k+3}+8x^{2k} \Rightarrow x^{k+3}+x^3 \geq 2x^{2k}[/tex]
Theo BĐT Cauchy ta có: [tex]x^{k+3}+x^3 \geq 2\sqrt{x^{k+3}.x^3}=2x^{\frac{k+6}{2}}[/tex]
Từ đó [tex]\frac{k+6}{2}=2k \Rightarrow k=2 \Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+(y+z)^3}} \geq \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}[/tex]
Rồi ta thế lại y = z sẽ được BĐT phụ.

được phép thay y=z vậy à bạn

 

[TranPhuong27]

Mình có cách khác, dễ chịu hơn cách của Sơn.
Ta có BĐT: [tex]a^3+1=(a+1)(a^2-a+1) \leq \frac{(a^2+2)^2}{4} \leftrightarrow \sqrt{a^3+1} \leq \frac{a^2+2}{2}[/tex]
Đặt [tex]\frac{2y}{x}=a;\frac{x+y}{y}=b[/tex] ( [TEX]a;b > 0[/TEX] ), kết hợp với BĐT phụ trên ta có:
[tex]\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{2y}{x})^3}}=\frac{1}{\sqrt{a^3+1}}[/tex] [tex]\geq \frac{2}{a^2+2} = \frac{2}{\frac{4y^2}{x^2}+2} = \frac{2x^2}{4y^2+2x^2}[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{y^3}{y^3+(x+y)^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{x+y}{y})^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+b^3}} \geq \frac{2}{b^2+2} = \frac{2y^2}{2y^2+(x+y)^2} \geq \frac{2y^2}{2x^2+4y^2}[/tex]
Kết hợp 2 BĐT trên suy ra [tex]P \geq \frac{2x^2}{4y^2+2x^2}+\frac{4y^2}{4y^2+2x^2}=1[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]x=y[/TEX]

 

[7 1 2 5]

đc phép thay y=z vậy à bn

Giả sử thôi mà bạn...