Toán 9 Bất đẳng thức

[Tiểu Bạch Lang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3
Chứng minh [tex]a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\leq 5[/tex]

 

[iiarareum]

Cho a,b,c là số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3
Chứng minh [tex]a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\leq 5[/tex]

[tex]a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}\leq \frac{a(b^2-b+1+b+1)}{2}=\frac{a(b^2+2)}{2}[/tex]
Đặt [tex]2A=2\sum a\sqrt{b^3+1}\leq ab^2+bc^2+ca^2+6[/tex]
Giả sử [tex]b\geq c\geq a\geq 0 => b(b-c)(c-a)\geq 0 <=> b(bc-c^2-ab+ca)\geq 0 <=> b^2c-bc^2-ab^2+abc \geq 0 <=> bc^2+ab^2\leq b^2c+abc <=> bc^2+ab^2\leq 2abc+b^2c <=> bc^2+ab^2+ca^2\leq c(a+b)^2 = 4c\frac{a+b}{2}\frac{a+b}{2}\leq \frac{4}{27}(\frac{2(a+b+c)}{2})^{3}=4[/tex]
[tex]=> 2A\leq 6+4=10 => A\leq 5[/tex]
Dấu ''='' xảy ra <=> ........