Toán 9 Bất đẳng thức

[TranPhuong27]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực [tex]a,b,c,d[/tex] thỏa mãn [tex]ac-bd=1[/tex]
Chứng minh rằng: [tex]a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc >= \sqrt3[/tex]

 

[Lê Tự Đông]

Ta có
$(ac-bd)^{2} + (ad+bc)^{2} = a^{2}c^{2} + b^{2}d^{2} + a^{2}d^{2} + b^{2}c^{2} + 2abcd - 2abcd = a^{2}c^{2} + b^{2}d^{2} + a^{2}d^{2} + b^{2}c^{2} = (a^{2} +b^{2})(c^{2}+d^{2})$
=> $1+ (ad+bc)^{2} = (a^{2} +b^{2})(c^{2}+d^{2})$
=> $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} +ad +bc >= 2.\sqrt{(a^{2} +b^{2})(c^{2}+d^{2})} + ad + bc = 2.\sqrt{1+ (ad+bc)^{2}} + ad + bc$
Đặt n = ad+bc
=> $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} +ad +bc >= n + 2.\sqrt{1+n^{2}}$
Mà VT,VP>0
=> $VT^{2} >= n^{2} + 2.(1+n^{2}) + 4n.\sqrt{1+n^{2}} = (\sqrt{1+n^{2}} + 2n)^{2} + 3 >= 3$
=> VT>= $\sqrt{3}$ (đpcm)