Toán 9 Bất đẳng thức

Thảo luận trong 'Căn bậc hai. Căn bậc ba' bắt đầu bởi Lena1315, 10 Tháng ba 2020.

Lượt xem: 113

  1. Lena1315

    Lena1315 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    403
    Điểm thành tích:
    76
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    THCS Ngoc Lam
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng [tex](a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ca}{b})(c+\frac{ab}{c}) \geq 4\sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}[/tex]
     
  2. Mộc Nhãn

    Mộc Nhãn Mod Toán | CTV CLB Hóa Học Vui Cu li diễn đàn HV CLB Hóa học vui

    Bài viết:
    4,255
    Điểm thành tích:
    666
    Nơi ở:
    Hà Tĩnh
    Trường học/Cơ quan:
    THCS Xuân Diệu

    Chia 2 vế cho abc ta có: [tex](1+\frac{bc}{a^2})(1+\frac{ca}{b^2})(1+\frac{ab}{c^2})\geq 4\sqrt[3]{(1+\frac{b^3}{a^3})(1+\frac{c^3}{b^3})(1+\frac{a^3}{c^3})}[/tex] (1)
    Đặt [tex](\frac{bc}{a^2},\frac{ac}{b^2},\frac{ab}{c^2})=(x,y,z)[/tex], (1) trở thành:
    [tex](1+x)(1+y)(1+z)\geq 4\sqrt[3]{(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})}[/tex]
    Lại có: [tex]xyz=1\Rightarrow (1)\Leftrightarrow 2+xy+yz+zx+x+y+z\geq 4\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}[/tex]
    Đặt [tex]p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc=1[/tex]
    [tex](1)\Leftrightarrow p+q+2\geq 4\sqrt[3]{pq-r}=4\sqrt[3]{pq-1}\Leftrightarrow (p+q+2)^3\geq 64(pq-1)\Leftrightarrow p^3+q^3+8+3(p+q)(p+2)(q+2)\geq 64(pq-1)\Leftrightarrow p^3+q^3+8+3(p+q)[pq+2(p+q)+4]-64pq+64\geq 0\Leftrightarrow p^3+q^3+72+3pq(p+q)+6(p+q)^2+12(p+q)-64pq\geq 0[/tex]
    Mà [tex]p^3+q^3\geq pq(p+q),6(p+q)^2\geq 24pq[/tex] nên ta cần chứng minh [tex]72+4pq(p+q)+12(p+q)-40pq\geq 0\Leftrightarrow 18+pq(p+q)+3(p+q)-10pq\geq 0[/tex]
    Lại có: [tex]pq(p+q)\geq 2pq\sqrt{pq}=2(\sqrt{pq})^3,p+q\geq 2\sqrt{pq}[/tex] nên ta chỉ cần chứng minh [tex]2(\sqrt{pq})^3-10(\sqrt{pq})^2+6\sqrt{pq}+18\geq 0[/tex](2)
    Đặt [tex]\sqrt{pq}=t\geq 0[/tex] (2) trở thành [tex]2t^3-10t^2+6t+18\geq 0\Leftrightarrow 2(t-3)^2(t+1)\geq 0[/tex](luôn đúng)
    Vậy ta có đpcm.
     
    ankhongu thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->