Toán 9 bất đẳng thức

[Longkhanh05@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp mình bài này với: Cho x, y, z là những số dương thỏa mãn đk: [tex]xy^2z^2+x^2z+y=3z^2[/tex]
tìm Max:[tex]\frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}[/tex]

 

[Bangtanbomm]

giúp mình bài này với: Cho x, y, z là những số dương thỏa mãn đk[tex]xy^2z^2+x^2z+y=3z^2[/tex]
tìm max: [tex]M=\frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}[/tex]

từ gt => [tex]xy^{2}+\frac{x^{2}}{z}+\frac{y}{z^{2}}=3[/tex]
Ta có: [tex](x^{2}y^{2}+y^{2})+(x^{2}+\frac{x^{2}}{z^{2}})+(\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq 2(xy^{2}+\frac{x^{2}}{z}+\frac{y}{z^{2}})[/tex]
Đặt [tex]a=\frac{1}{z^{2}};b=x^{2};c=y^{2}[/tex]
=> P=[tex]\frac{1}{\frac{1}{z^{4}}+x^{4}+y^{4}}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}[/tex]
Dễ thấy [tex]3\sum a^{2}\geq 2(\sum a+\sum ab)-3=2(\frac{x^{2}}{z^{2}}+x^{2}y^{2}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{1}{z^{2}}+x^{2}+y^{2})\geq 9=> \sum a^{2}\geq 3=> P\leq \frac{1}{3}[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

 

[7 1 2 5]

[tex]\frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}=\frac{1}{\frac{1}{z^4}+x^4+y^4}[/tex]
Đặt [tex](x^4,y^4,\frac{1}{z^4})=(a^2,b^2,c^2)[/tex]
Ta thấy: [tex]xy^2z^2+x^2z+y=3z^2\Leftrightarrow xy^2+\frac{x^2}{z}+\frac{y}{z^2}=3\Leftrightarrow b\sqrt{a}+a\sqrt{c}+c\sqrt{b}=3\Rightarrow a+b^2+a^2+c+c^2+b\geq 2(b\sqrt{a}+a\sqrt{c}+c\sqrt{b})=6\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 6-a-b-c\geq 6-\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}\Rightarrow a^2+b^2+c^2+\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}-6\geq 0[/tex]
Đặt [tex]t=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\Rightarrow t^2+\sqrt{3}t-6\geq 0\Rightarrow (t-\sqrt{3})(t+2\sqrt{3})\geq 0\Rightarrow t\geq \sqrt{3}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3\Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+c^2}\leq \frac{1}{3}[/tex]

 

[Nguyen Gia Lap]

mình không hiểu dấu kiểu E ngược đó
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
@Bangtanbomm

Cái đó, trong trường hợp này, là tổng hoán vị á bạn, đọc là sigma (xích-ma) lớn. Bình thường một số sách sẽ ghi thêm chữ cyc ở dưới nghĩa là cyclic. Nghĩa của toàn bộ hệ kí hiệu [tex]\sum_{cyc}^{ }[/tex] là Tổng hoán vị vòng quanh của một biểu thức. VD: [tex]2a+2b+2c=\sum_{cyc}^{ }(2a)[/tex]